Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym

[Mondo]

Witam,

mam jakieś zaćmienie i nie mogę sobie przypomnieć ( ani nigdzie znaleźć ) tego dowodu. Może ktoś pomóc ?

Dzięki.

[Premislav]

Co to znaczy "dowód sinusa"? Przychodzi sinus do sklepu monopolowego, a ekspedientka pyta go o dowód?
Może chodzi Ci o definicję sinusa w trójkącie prostokątnym? [ta jest choćby na wikipedii]
Jeśli tak, to sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

[Mondo]

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Chodzi mi właśnie o dowód powyższego twierdzenia. Dlaczego stosunek tych dwóch długości daje nam wartość sinusa kąta.

Dzięki.

[Premislav]

A jaka jest zatem przyjmowana definicja funkcji sinus? Przez szereg?? Czy przez stosunki odległości w układzie współrzędnych?
Bez odpowiedzi na to pytanie nie będziesz mieć żadnego dowodu.

[Mondo]

Najlepiej dowody dla obu sposobów, ale generalnie łatwiej chyba będzie przez stosunki odległości w układzie współrzędnych.

[Premislav]

Nie no, przepraszam bardzo, ale jeśli ktoś zadał Ci takie zadanie, to musiał określić, jak definiuje funkcję sinus (lub też jasno to zaznaczono na wykładzie). Jeśli tego nie zrobił, to jest niedbały lub niekompetentny.
Jeżeli przyjmujemy mniej ogólną definicję z użyciem kartezjańskiego układu współrzędnych, to
dowód jest geometryczny: zaznaczasz sobie kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na okręgu jednostkowym (właściwie to promień nie gra roli, może być dowolny dodatni, ale tak jest fajno), no i rysujesz sobie trójkąt o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (0,0)}\), punkcie \(\displaystyle{ (a,b)}\) na okręgu jednostkowym, takim że "przeciwzegarowy" kąt środkowy oparty na łuku od \(\displaystyle{ (1,0)}\) do \(\displaystyle{ (a,b)}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), no i punkcie \(\displaystyle{ (a,0)}\) - w sensie, ze to jest trzeci wierzchołek. Masz trójkąt prostokątny o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\), w którym \(\displaystyle{ b=\sin \alpha}\) (stosunek drugiej współrzędnej punktu \(\displaystyle{ (a,b)}\) wyznaczającego kąt ostry do odległości \(\displaystyle{ (a,b)}\) od początku układu). Teza wynika natychmiastowo z cechy kąt, kąt, kąt podobieństwa trójkątów.
Natomiast jeśli przyjmiemy definicję za pomocą szeregu, no to chyba nie umiem.

-- 19 cze 2015, o 00:59 --

Warto też zdawać sobie sprawę z tego, ze to raczej funkcje trygonometryczne kątów trójkąta prostokątnego są szczególnym przypadkiem funkcji w układzie współrzędnych, a definicja za pomocą szeregu potęgowego daje wygodne uogólnienie na argumenty zespolone. Dlatego trochę dziwi treść tego "zadania".
W ogóle to wygląda trochę jak dowód tego, że liczba parzysta to liczba podzielna przez dwa - no tak się definiuje i tyle.

[Dilectus]

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Chodzi mi właśnie o dowód powyższego twierdzenia. Dlaczego stosunek tych dwóch długości daje nam wartość sinusa kąta.

Dzięki.

Tu nie ma czego dowodzić. Tak właśnie został pierwotnie (w starożytnej Grecji) zdefiniowany sinus kąta ostrego. Dopiero potem zdefiniowano funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.

[kruszewski]

Mam "nieodparte" wrażenie, że zadanie postawione Koledze Mondo było takie:
wykazać, że dla jednakowej miary kąta ostrego trójkąta prostokątnego stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do przeciwprostokątnej tego trójkąta nie zależy od rozmiarów trójkąta.
Lub inaczej.
Wykaż, że podobnych trójkątach prostokątnych sinusy odpowiednich kątów są sobie równe (nie zależą od rozmiarów trójkątów).
W obu przypadkach ma zastosowanie znane od "kilku lat" twierdzenie Talesa z Miletu.
W.Kr.

[Mondo]

Mam "nieodparte" wrażenie, że zadanie postawione Koledze Mondo było takie (...)

Otóż nie, nikt zadania mi nie zadał, po prostu zastanawiałem się na genezą funkcji sinus. Zwraca ona kolejne wartości \(\displaystyle{ \pi}\) w zależności od kata, natomiast zastanawiam się nad tą ilustracją:

AU

330px-Pi-unrolled-720.gif (73.52 KiB) Przejrzano 114 razy

Pełny okres sinusa to \(\displaystyle{ 2\pi}\), natomiast powyższa animacja przedstawia pełny obrót koła jako \(\displaystyle{ \pi}\), coś jest chyba nie tak ?

[AiDi]

Nie, animacja dotyczy samej liczby \(\displaystyle{ \pi}\), bez związku z miarą łukową kąta. Musisz rozróżniać te rzeczy. Pokazano okrąg o średnicy \(\displaystyle{ 1}\), zatem jego długość wynosi \(\displaystyle{ \pi}\), tyle.

[Mondo]

No właśnie, z powyższej animacji \(\displaystyle{ \pi = 360^o}\), a w mierze łukowej \(\displaystyle{ \pi = 180^o}\), stąd wpadłem w zakłopotanie. Więc, \(\displaystyle{ \pi \text{radianów} = 180^o}\) to po prostu zasada ?

[AiDi]

Nie zasada, a wniosek z definicji.

No właśnie, z powyższej animacji \(\displaystyle{ \pi = 360^o}\)

Nie nie nie. Powtarzam: animacja powyżej nie miała na celu tłumaczyć czegokolwiek związanego z kątami. Definicja miary łukowej jest taka, że dzielisz długość łuku przez promień okręgu, więc nawet w przypadku powyższej animacji otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{0,5}=2\pi}\)

[Mondo]

OK. Dzięki.

Nie zasada, a wniosek z definicji.

Mógłbyś podać z jakiej definicji wychodzi ta zależność, że \(\displaystyle{ \pi = 180^o}\) ?


Dzięki.

[AiDi]

dzielisz długość łuku przez promień okręgu

I pamiętaj że \(\displaystyle{ \pi}\) radianów, a nie \(\displaystyle{ \pi}\) po prostu.

[Mondo]

Rozpisałem sobie wszytko na spokojnie i oczywiście, wszytko jest ok .

Dzieki