Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Co to znaczy "dowód sinusa"? Przychodzi sinus do sklepu monopolowego, a ekspedientka pyta go o dowód?
Może chodzi Ci o definicję sinusa w trójkącie prostokątnym? [ta jest choćby na wikipedii]
Jeśli tak, to sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Może chodzi Ci o definicję sinusa w trójkącie prostokątnym? [ta jest choćby na wikipedii]
Jeśli tak, to sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Chodzi mi właśnie o dowód powyższego twierdzenia. Dlaczego stosunek tych dwóch długości daje nam wartość sinusa kąta.Premislav pisze:Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Dzięki.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
A jaka jest zatem przyjmowana definicja funkcji sinus? Przez szereg?? Czy przez stosunki odległości w układzie współrzędnych?
Bez odpowiedzi na to pytanie nie będziesz mieć żadnego dowodu.
Bez odpowiedzi na to pytanie nie będziesz mieć żadnego dowodu.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Nie no, przepraszam bardzo, ale jeśli ktoś zadał Ci takie zadanie, to musiał określić, jak definiuje funkcję sinus (lub też jasno to zaznaczono na wykładzie). Jeśli tego nie zrobił, to jest niedbały lub niekompetentny.
Jeżeli przyjmujemy mniej ogólną definicję z użyciem kartezjańskiego układu współrzędnych, to
dowód jest geometryczny: zaznaczasz sobie kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na okręgu jednostkowym (właściwie to promień nie gra roli, może być dowolny dodatni, ale tak jest fajno), no i rysujesz sobie trójkąt o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (0,0)}\), punkcie \(\displaystyle{ (a,b)}\) na okręgu jednostkowym, takim że "przeciwzegarowy" kąt środkowy oparty na łuku od \(\displaystyle{ (1,0)}\) do \(\displaystyle{ (a,b)}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), no i punkcie \(\displaystyle{ (a,0)}\) - w sensie, ze to jest trzeci wierzchołek. Masz trójkąt prostokątny o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\), w którym \(\displaystyle{ b=\sin \alpha}\) (stosunek drugiej współrzędnej punktu \(\displaystyle{ (a,b)}\) wyznaczającego kąt ostry do odległości \(\displaystyle{ (a,b)}\) od początku układu). Teza wynika natychmiastowo z cechy kąt, kąt, kąt podobieństwa trójkątów.
Natomiast jeśli przyjmiemy definicję za pomocą szeregu, no to chyba nie umiem.
-- 19 cze 2015, o 00:59 --
Warto też zdawać sobie sprawę z tego, ze to raczej funkcje trygonometryczne kątów trójkąta prostokątnego są szczególnym przypadkiem funkcji w układzie współrzędnych, a definicja za pomocą szeregu potęgowego daje wygodne uogólnienie na argumenty zespolone. Dlatego trochę dziwi treść tego "zadania".
W ogóle to wygląda trochę jak dowód tego, że liczba parzysta to liczba podzielna przez dwa - no tak się definiuje i tyle.
Jeżeli przyjmujemy mniej ogólną definicję z użyciem kartezjańskiego układu współrzędnych, to
dowód jest geometryczny: zaznaczasz sobie kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na okręgu jednostkowym (właściwie to promień nie gra roli, może być dowolny dodatni, ale tak jest fajno), no i rysujesz sobie trójkąt o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (0,0)}\), punkcie \(\displaystyle{ (a,b)}\) na okręgu jednostkowym, takim że "przeciwzegarowy" kąt środkowy oparty na łuku od \(\displaystyle{ (1,0)}\) do \(\displaystyle{ (a,b)}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), no i punkcie \(\displaystyle{ (a,0)}\) - w sensie, ze to jest trzeci wierzchołek. Masz trójkąt prostokątny o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\), w którym \(\displaystyle{ b=\sin \alpha}\) (stosunek drugiej współrzędnej punktu \(\displaystyle{ (a,b)}\) wyznaczającego kąt ostry do odległości \(\displaystyle{ (a,b)}\) od początku układu). Teza wynika natychmiastowo z cechy kąt, kąt, kąt podobieństwa trójkątów.
Natomiast jeśli przyjmiemy definicję za pomocą szeregu, no to chyba nie umiem.
-- 19 cze 2015, o 00:59 --
Warto też zdawać sobie sprawę z tego, ze to raczej funkcje trygonometryczne kątów trójkąta prostokątnego są szczególnym przypadkiem funkcji w układzie współrzędnych, a definicja za pomocą szeregu potęgowego daje wygodne uogólnienie na argumenty zespolone. Dlatego trochę dziwi treść tego "zadania".
W ogóle to wygląda trochę jak dowód tego, że liczba parzysta to liczba podzielna przez dwa - no tak się definiuje i tyle.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Tu nie ma czego dowodzić. Tak właśnie został pierwotnie (w starożytnej Grecji) zdefiniowany sinus kąta ostrego. Dopiero potem zdefiniowano funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.Mondo pisze:Chodzi mi właśnie o dowód powyższego twierdzenia. Dlaczego stosunek tych dwóch długości daje nam wartość sinusa kąta.Premislav pisze:Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Dzięki.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Mam "nieodparte" wrażenie, że zadanie postawione Koledze Mondo było takie:
wykazać, że dla jednakowej miary kąta ostrego trójkąta prostokątnego stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do przeciwprostokątnej tego trójkąta nie zależy od rozmiarów trójkąta.
Lub inaczej.
Wykaż, że podobnych trójkątach prostokątnych sinusy odpowiednich kątów są sobie równe (nie zależą od rozmiarów trójkątów).
W obu przypadkach ma zastosowanie znane od "kilku lat" twierdzenie Talesa z Miletu.
W.Kr.
wykazać, że dla jednakowej miary kąta ostrego trójkąta prostokątnego stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do przeciwprostokątnej tego trójkąta nie zależy od rozmiarów trójkąta.
Lub inaczej.
Wykaż, że podobnych trójkątach prostokątnych sinusy odpowiednich kątów są sobie równe (nie zależą od rozmiarów trójkątów).
W obu przypadkach ma zastosowanie znane od "kilku lat" twierdzenie Talesa z Miletu.
W.Kr.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Otóż nie, nikt zadania mi nie zadał, po prostu zastanawiałem się na genezą funkcji sinus. Zwraca ona kolejne wartości \(\displaystyle{ \pi}\) w zależności od kata, natomiast zastanawiam się nad tą ilustracją:kruszewski pisze:Mam "nieodparte" wrażenie, że zadanie postawione Koledze Mondo było takie (...)
Pełny okres sinusa to \(\displaystyle{ 2\pi}\), natomiast powyższa animacja przedstawia pełny obrót koła jako \(\displaystyle{ \pi}\), coś jest chyba nie tak ?
Ostatnio zmieniony 19 cze 2015, o 16:50 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Nie, animacja dotyczy samej liczby \(\displaystyle{ \pi}\), bez związku z miarą łukową kąta. Musisz rozróżniać te rzeczy. Pokazano okrąg o średnicy \(\displaystyle{ 1}\), zatem jego długość wynosi \(\displaystyle{ \pi}\), tyle.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
No właśnie, z powyższej animacji \(\displaystyle{ \pi = 360^o}\), a w mierze łukowej \(\displaystyle{ \pi = 180^o}\), stąd wpadłem w zakłopotanie. Więc, \(\displaystyle{ \pi \text{radianów} = 180^o}\) to po prostu zasada ?
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
Nie zasada, a wniosek z definicji.
Nie nie nie. Powtarzam: animacja powyżej nie miała na celu tłumaczyć czegokolwiek związanego z kątami. Definicja miary łukowej jest taka, że dzielisz długość łuku przez promień okręgu, więc nawet w przypadku powyższej animacji otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{0,5}=2\pi}\)Mondo pisze:No właśnie, z powyższej animacji \(\displaystyle{ \pi = 360^o}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
OK. Dzięki.
Dzięki.
Mógłbyś podać z jakiej definicji wychodzi ta zależność, że \(\displaystyle{ \pi = 180^o}\) ?AiDi pisze:Nie zasada, a wniosek z definicji.
Dzięki.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Dowód sinusa w trójkącie prostokątnym
I pamiętaj że \(\displaystyle{ \pi}\) radianów, a nie \(\displaystyle{ \pi}\) po prostu.AiDi pisze:dzielisz długość łuku przez promień okręgu