Równanie trygonometryczne

aleph_0 · Post autor: **aleph_0** » 14 cze 2015, o 20:48

Proszę o pomoc z poniższym równaniem. Nie bardzo wiem, od czego w ogóle zacząć.

\(\displaystyle{ \tg x+\tg(\alpha-x)=2\tg\alpha}\)

Rethie · Post autor: **Rethie** » 14 cze 2015, o 20:49

Poszukaj wzoru na podwojony tangens

aleph_0 · Post autor: **aleph_0** » 14 cze 2015, o 21:07

Jest w ogóle taki wzór? Znam na tangens podwojonego kąta, ale o podwojonym tangensie nie słyszałam.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 cze 2015, o 21:16

Ja nie znam, ale można sobie wyprowadzić wzór na tangens różnicy:
\(\displaystyle{ \tg(\alpha-x)= \frac{\sin(\alpha-x)}{\cos(\alpha-x)}= \frac{\sin\alpha\cos x-\cos\alpha\sin x}{\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x}= \frac{\tg \alpha-\tg x}{1+\tg \alpha\tg x}}\)
Skorzystałem ze wzorów na sinus i cosinus różnicy. W ostatnim przejściu podzieliłem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos\alpha\cdot\cos x}\).

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 14 cze 2015, o 22:03

aleph_0 pisze:Proszę o pomoc z poniższym równaniem. Nie bardzo wiem, od czego w ogóle zacząć.

\(\displaystyle{ \tg x+\tg(\alpha-x)=2\tg\alpha}\)

Zacznij tak:

Premislav wyprowadził Ci wzór na \(\displaystyle{ \tg(\alpha-x)}\). Skorzystaj z niego w równaniu, które masz rozwiązać. O tak:

\(\displaystyle{ \tg x+\tg(\alpha-x)=2\tg\alpha}\)

\(\displaystyle{ \tg x+ \frac{\tg \alpha-\tg x}{1+\tg \alpha\tg x}=2\tg\alpha}\)

i wylicz z tego \(\displaystyle{ \tg x}\)

Jever · Post autor: **Jever** » 14 cze 2015, o 22:06

Według mnie łatwiej będzie wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \tg \alpha + \tg \beta}\) :
\(\displaystyle{ \tg \alpha + \tg \beta = {\frac{{\sin (\alpha + \beta)}}{{\cos \alpha \cos \beta}}}}\) (skrócona wersja) i wykorzystać po lewej stronie równania.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 14 cze 2015, o 22:38

ale o podwojonym tangensie nie słyszałam

To jest tangens kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) pomnożony przez dwa.