własności funkcji trygonometrycznych

[vital]

Jak obliczyć coś takiego?
a) \(\displaystyle{ \cos \frac{5}{12}\pi\cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{3}{8}\pi}\)

b)Oblicz :\(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)}\) i \(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)}\), jeśli \(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ \alpha\in(- \frac{\pi}{2};0),\ctg\beta= \frac{1}{3}, \beta\in(\pi, \frac{3}{2}\pi)}\)

[Premislav]

(a) takie wzory można zastosować: \(\displaystyle{ \cos x\cos y= \frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}\)
oraz \(\displaystyle{ \sin x\sin y= \frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}\)
(b) wzorki na sinus sumy i cosinus różnicy. \(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}\) oraz \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\)

[vital]

tylko w tym b) nie wiem jak wyliczyć właśnie to \(\displaystyle{ \sin\alpha, \cos\beta,\sin\beta}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sin \alpha}\) - z jedynki trygonometrycznej (dzięki podanemu przedziałowi masz jednoznaczny wynik).
Funkcje kąta \(\displaystyle{ \beta}\): zauważmy, ze jest \(\displaystyle{ 1+\tg^{2}\beta= \frac{1}{\cos^{2}\beta}}\) w rozpatrywanym przedziale.
Wobec tego \(\displaystyle{ \cos^{2}\beta= \frac{1}{1+\tg^{2}\beta}= \frac{1}{1+ \frac{1}{\ctg^{2}\beta} }}\), bo tangens i cotangens mnożą się do jedynki. Dzięki podanemu przedziałowi możesz stąd wyznaczyć cosinus, a zatem i sinus (ponownie jedynka trygonometryczna).
Trzeba tylko wiedzieć, czy w tych przedziałach sinus/cosinus jest dodatni/ujemny (popatrz na wykres).

[szachimat]

Albo:
Żeby wyliczyć \(\displaystyle{ \cos\beta,\sin\beta}\) rozwiąż układ równań, który składa się z jedynki trygonometrycznej i tego, że \(\displaystyle{ \frac{\cos \ \beta }{\sin \ \beta }= \frac{1}{3}}\) (i uwaga na znaki końcowe - trzecia ćwiartka)