zbiór wartości funkcji

[ajam262]

dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) danej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=-1-2a+a\cos (2x)}\) jest przedział \(\displaystyle{ [1,5]}\).

[a4karo]

Odpowiedz sobie na takie pytania

1 jak jest zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos 2x}\)?
2 jaki jest zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ a\cos 2x}\)?

[ajam262]

1. \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\)
2. \(\displaystyle{ x\in[-a,a]}\)

[a4karo]

To teraz zadaj sobie trzecie pytanie

I nie \(\displaystyle{ x\in}\) tylko \(\displaystyle{ \cos 2x\in}\)

[ajam262]

\(\displaystyle{ f(x)=-1-2a+acos(2x)}\)
\(\displaystyle{ -1 \le cos2x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -a \le acos2x \le a}\)
\(\displaystyle{ -2a-a \le -2a+acos2x \le a-2a}\)
\(\displaystyle{ -3a -1\le -1-2a+acos2x \le -a-1}\)
zatem
\(\displaystyle{ -3a-1=5 \Rightarrow a=-2}\)
\(\displaystyle{ -a-1=1 \Rightarrow a=-2}\)

czy jest to dobrze?

[a4karo]

Zobacz co masz po obu stronach nierówności gdy wstawisz \(\displaystyle{ a=-2}\)?

CZy z \(\displaystyle{ -1 \le cos2x \le 1}\) wynika \(\displaystyle{ -a \le acos2x \le a}\) ?