Rozwiąż równanie sin x=cos x

Ziomus999 · Post autor: **Ziomus999** » 6 cze 2015, o 18:54

Chciałbym poprosić o jak najwięcej rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sin x=\cos x.}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 cze 2015, o 19:00

Aby to było spełnione, oczywiście nie może być \(\displaystyle{ \cos x=0}\) (no bo jedynka trygonometryczna).
Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ \cos x}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ \tg x=1}\). Tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym \(\displaystyle{ \pi}\)... Chyba dalej umiesz dokończyć.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 6 cze 2015, o 19:04

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ x= \frac{5}{4}\pi+2k\pi}\)

Ziomus999 · Post autor: **Ziomus999** » 6 cze 2015, o 19:08

To są tylko dwa które miałem. Podobno jest aż 11 rozwiązań.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 cze 2015, o 19:21

To jest nieskończenie wiele rozwiązań, bo \(\displaystyle{ k}\) przebiega zbiór liczb całkowitych.

Podobno jest aż 11 rozwiązań.

No ba, nawet więcej: jest ich nieskończenie wiele.
Ile pompek może zrobić Chuck Norris?
-Jak ma zły dzień, to alef zero, a jak dobry, to continuum.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 6 cze 2015, o 20:33

2) Zastosować wzór redukcyjny tak aby mieć po obu stronach sinusy - i poszukać jaki warunek muszą spełnić ich argumenty aby równanie zaszło.

3) Zastosować ....(to samo ale z cosinusami).

4) Dołożyć jedynkę trygonometryczną i rozwiązać układ równań.

Ziomus999 · Post autor: **Ziomus999** » 7 cze 2015, o 16:34

4) Dołożyć jedynkę trygonometryczną i rozwiązać układ równań. - Tutaj nie bardzo \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) co nie równa się \(\displaystyle{ \sin ^2=\cos ^2}\).

Post autor: **Jan Kraszewski** » 7 cze 2015, o 17:37

Ziomus999 pisze:4) Dołożyć jedynkę trygonometryczną i rozwiązać układ równań. - Tutaj nie bardzo \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) co nie równa się \(\displaystyle{ \sin ^2=\cos ^2}\).

Oj, nie zrozumiałeś wskazówki. Chodzi o rozwiązanie układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x=\cos x \\ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \end{cases}}\)

JK

kerajs · Post autor: **kerajs** » 7 cze 2015, o 18:05

\(\displaystyle{ \sin x - \cos x=0 \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x - \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos x=0}\)

A)
\(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{4} \sin x - \sin \frac{ \pi }{4}\cos x=0 \\ \sin \left( x-\frac{ \pi }{4} \right) =0 \\...}\)

b)
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{4} \sin x - \cos \frac{ \pi }{4}\cos x=0 \\ -\cos \left( x+\frac{ \pi }{4} \right) =0 \\...}\)

Edit:
Można jeszcze utrudnić sobie rozwiązanie przechodząc na inny kąt. Najłatwiej jest z \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2x}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 7 cze 2015, o 18:10

Nie napisano jeszcze o prostym rozwiązaniu graficznym (łatwo odczytać miejsca przecięcia obu wykresów)

a456 · Post autor: **a456** » 7 cze 2015, o 19:07

Można przenieść cosinus na lewo, podnieść stronami do kwadratu, skorzystać z jedynki trygonometrycznej i wzoru na sinus podwojonego argumentu.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 8 cze 2015, o 00:24

szachimat pisze:Nie napisano jeszcze o prostym rozwiązaniu graficznym (łatwo odczytać miejsca przecięcia obu wykresów)

Ja o tym napisałem, ale w sposób ukryty

Dilectus pisze:\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ x= \frac{5}{4}\pi+2k\pi}\)

bo wcale nie rozwiązywałem tego równania, tylko rozwiązania chytrze odczytałem z wykresu.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 8 cze 2015, o 12:06

Dilectus, każdy ma takie rozwiązania, tylko nie każdy ukrywa swój sposób (a chociażby z równania \(\displaystyle{ \tg x=1}\) też chytrze odczytuje rozwiązania z wykresu). Ale odbiegamy od istoty tematu.