Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci

[Usmiechnieta]

Nie rozumiem, dlaczego drugie rozwiązanie jest błędne, proszę o wyjaśnienie.

Doprowadź poniższe wyrażanie do najprostszej postaci, wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0^\circ, 90^\circ \right) \cup \left( 90^\circ, 180^\circ\right).}\)

Przykład b)
\(\displaystyle{ \sin \left(90^\circ + \alpha \right) \cdot \tg \left( 180^\circ - \alpha \right) + \cos \left( 180^\circ - \alpha \right) \cdot \ctg \left( 90^\circ + \alpha \right)= x}\)

Ja rozpatrzyłam dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1.^\circ \alpha \in \left( 0^\circ, 90^\circ \right)}\)
\(\displaystyle{ x= \cos \alpha \cdot \left( -\tg \alpha \right) + \left( -\cos \alpha \right) \cdot \left( -\tg \alpha \right)= - \sin \alpha + \sin \alpha = 0}\), co jest dobrze w rozwiązaniach w książce.


\(\displaystyle{ 2.^\circ \alpha \in \left( 90^\circ, 180^\circ\right)}\)
\(\displaystyle{ x=\sin \alpha \cdot \tg \alpha + \cos \alpha \cdot \tg \alpha = 2 \sin \alpha}\)
Ale drugiego rozwiązania w odpowiedziach w zbiorze nie ma. Dlaczego?

[Michalinho]

Bo źle rozumiesz wzory redukcyjne. \(\displaystyle{ \tg(180^\circ -x)}\) to będzie zawsze \(\displaystyle{ -\tg x}\), nieważne w jakim przedziale znajduje się \(\displaystyle{ x}\).

[SlotaWoj]

Wzory redukcyjne stosujemy tak samo, niezależnie od tego jaka jest wartość kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).

W związku z tym zawsze:

• \(\displaystyle{ x=\sin(90^\circ+\alpha)\cdot\tg(180^\circ-\alpha) + \cos(180^\circ-\alpha)\cdot\ctg(90^\circ+\alpha)= \\ = -\cos\alpha\cdot\tg\alpha + \cos\alpha\cdot\tg\alpha}\)

a gdy \(\displaystyle{ \alfa\neq90^\circ}\):

• \(\displaystyle{ =-\sin\alpha+\sin\alpha=0}\)

W tym drugim przypadku jest tak samo jak w pierwszym.

Dla \(\displaystyle{ \alpha=90^\circ}\) wyrażenie trygonometryczne (u mnie prawa strona) ma wartość nieokreśloną.

[Usmiechnieta]

Bardzo dziękuję
Zauważyłam już swoją pomyłkę, po prostu tutaj źle obliczyłam \(\displaystyle{ \sin \left( 90^\circ + \alpha \right) \neq \sin \alpha}\)
Dopiero zaczynam i czasami mylę się w rachunkach.