Potęgowanie funkcji trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Edrw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 maja 2015, o 18:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 2 razy

Potęgowanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Edrw »

Wiec w szkole było mi powiedziane że:
\(\displaystyle{ sin^{1,2..}x = (sin(x))^{1,2...}}\)

I w sumie nigdy nie miałem z tym problem aż nie natrafiłem na funkcję:
\(\displaystyle{ y = tan^{-1}x}\) która jest oczywiście równa \(\displaystyle{ arctan(x)}\)

i teraz jest pytanie dlaczego np. \(\displaystyle{ sin^{2}x}\) ma taki sam wykres jak \(\displaystyle{ (sin(x))^{2}}\), ale już \(\displaystyle{ tan^{-1}x}\) ma zupełnie inny wykres niż \(\displaystyle{ (tan(x))^{-1}}\)

gdzie jest luka w mojej wiedzy?
Ostatnio zmieniony 16 maja 2015, o 20:41 przez Edrw, łącznie zmieniany 1 raz.
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3018
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 322 razy

Potęgowanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: florek177 »

Luka jest w podstawach - jaka jest zależność między \(\displaystyle{ tg \,}\) i \(\displaystyle{ cot \,\,}\) ; a co to jest \(\displaystyle{ arctg \,\,}\)?
Edrw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 maja 2015, o 18:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 2 razy

Potęgowanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Edrw »

Powiem szczerze że nie wiem o co ci chodzi? Nie robie tego do szkoły czy coś tylko 'z braku laku' więc nie mam żadnego podręcznika czy coś, w google nie moge znaleść na to odowiedzi pewnie dla tego że nawet nie wiem jak nazwać ten problem.
Chciałbym po prostu zrozumieć dlaczego:
\(\displaystyle{ tan^{2}x = (tan(x))^{2}}\)
a dlaczego \(\displaystyle{ tan^{-1}x \neq (tan(x))^{-1}}\)

Bo póki co to mam wrażenie że potęgowanie w ten sposób ma sens tylko dla liczb dodanich.
a \(\displaystyle{ arctan}\) to odwrotność \(\displaystyle{ tan}\)? Nie jestem pewnien, robie to 'hobbistycznie' więc wszekie wskazówki/korekty mile widziane.
Ostatnio zmieniony 16 maja 2015, o 20:40 przez Edrw, łącznie zmieniany 1 raz.
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Potęgowanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Kaf »

To tylko w pewnym sensie konflikt oznaczeń: przez \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) powszechnie oznacza się wartość (w punkcie \(\displaystyle{ x}\)) funkcji odwrotnej do funkcji \(\displaystyle{ f}\) (i dlatego mamy \(\displaystyle{ \tan ^{-1} x = \arctan x}\)). Potęgowanie raczej oznacza się \(\displaystyle{ \left( f(x)\right) ^{-1}}\) (i tutaj mamy \(\displaystyle{ (\tan x)^{-1}=\cot x}\)).
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Potęgowanie funkcji trygonometrycznych

Post autor: Dilectus »

Kiedy wykładnik potęgi jest równy \(\displaystyle{ -1}\), rozumiemy, że chodzi o funkcję odwrotną, czyli że funkcja \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\). Zatem

\(\displaystyle{ f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f\left( x\right) }}\)

Można więc napisać, że

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k \neq -1} f^{-k}(x)= \frac{1}{f^k(x)}= \frac{1}{\left( f(x)\right)^k }}\)
\(\displaystyle{ }\)
ODPOWIEDZ