Tożsamości trygonometryczne - dowody

[andrzejwatacha]

Zrobiłem sobie pdfa z tożsamościami trygonometrycznymi z kiełbasy i ich dowodami. Zamieszczam to tutaj, bo może komuś się przyda - no i przy okazji proszę o wskazanie błędów jeśli gdzieś się ukryły, a także o uwagi i opinie. Życzę miłego dnia!

[damiano444-92]

Świetna robota
Widzę, że jesteś zainteresowany tym, więc dam Ci radę.

Chcesz szybko wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \sin \left( 7x \right)}\).
Standardowo to pewnie byśmy liczyli \(\displaystyle{ \sin \left( 7x \right) =\sin \left( 6x + 1x \right)}\).
\(\displaystyle{ \sin \left( 6x \right) = \sin \left( 2 \cdot 3x \right)}\),
\(\displaystyle{ \cos \left( 3x \right) = \sin \left( \frac{ \pi }{2} - 3x \right)}\).

Lecz jest szybszy sposób.
Musisz tylko zastosować wzór Euler'a:
\(\displaystyle{ e ^{x \cdot i} = \cos \left( x \right) + i \cdot \sin \left( x \right)}\) (wzór \(\displaystyle{ \left( * \right)}\))

Znając go, stwierdzimy dwie rzeczy:
1)
\(\displaystyle{ \left( e ^{x \cdot i} \right) ^{n} = \left( \cos \left( x \right) + i \cdot \sin \left( x \right) \right) ^{n} = R _{ \left( x \right) } + i \cdot I _{ \left( x \right) } = R _{ \left( \sin \left( x \right) ,\cos \left( x \right) \right) } + i \cdot I _{ \left( \sin \left( x \right) ,\cos \left( x \right) \right) }}\)
("\(\displaystyle{ R}\)" jak "Real" part, "\(\displaystyle{ I}\)" jak "Imaginary" part)

oraz

2)
\(\displaystyle{ \left( e ^{x \cdot i} \right) ^{n} = e ^{ \left( x \cdot i \right) \cdot n} = e ^{ \left( n \cdot x \right) \cdot i} = \cos \left( n \cdot x \right) + i \cdot \sin \left( n \cdot x \right)}\)

Przyrównując do siebie te dwa fakty, otrzymamy ważny związek:
\(\displaystyle{ \cos \left( n \cdot x \right) + i \cdot \sin \left( n \cdot x \right) = R _{ \left( \sin \left( x \right) ,\cos \left( x \right) \right) } + i \cdot I _{ \left( \sin \left( x \right) ,\cos \left( x \right) \right) }}\)

, skąd wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ \cos \left( n \cdot x \right) = R _{ \left( \sin \left( x \right) ,\cos \left( x \right) \right) }}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( n \cdot x \right) = I _{ \left( \sin \left( x \right) ,\cos \left( x \right) \right) }}\)

I wówczas, dla \(\displaystyle{ n=7}\), otrzymamy wzór nie tylko na \(\displaystyle{ \sin \left( 7x \right)}\), lecz od razu także przy okazji wzór na \(\displaystyle{ \cos \left( 7x \right)}\).

Pozdrawiam

[musialmi]

Damiano, ten pdf jest dla licealistów. A tożsamości trygonometryczne zazwyczaj najszybciej wyprowadza się przez postać wykładniczą liczby zespolonej, rzeczywiście, ale w liceum tego nie uczą ;p

[andrzejwatacha]

Poprawiłem formatowanie w paru miejscach, moderatora proszę o podmianę linku w pierwszym poście, bo albo jestem ślepy (w tym wypadku proszę o wskazanie) albo nie mam dostępu do edytowania go.