Udowodnić tożsamość pochodną.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
d_996
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 maja 2015, o 11:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Udowodnić tożsamość pochodną.

Post autor: d_996 »

Wykazać, że dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) = 1 + 3 \cos ^{2}2\alpha}\)
To jest zadanie maturalne. Kiedy je robiłem w domu to po "zwykłych" przekształceniach mi wyszło, ale jednak to zajęło trochę czasu. Dlatego moje pytanie jest takie: czy jeżeli na maturze nie wpadnę na żaden pomysł, nie będzie wychodziło, to jak umiem liczyć pochodne f złożonych i trygonometrycznych, to czy jak zauważę, że pochodna lewej strony jest równa prawej, to czy to może być dowód? Kiedyś właśnie oglądałem wykład, gdzie tożsamość trygonometryczną udowodniono właśnie licząc pochodne i potem że korzystając z wniosku tw. Lagrange'a. I właśnie proszę o odp, czy to przejdzie i jak bym to musiał potem słownie skomentować.
Ostatnio zmieniony 6 maja 2015, o 12:21 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnić tożsamość pochodną.

Post autor: Premislav »

Dokładniej to mógłbyś zrobić tak:
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g(\alpha)=4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) - 1 -3 \cos ^{2}2\alpha}\) (tj. różnicę lewej i prawej strony). Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ g'(\alpha)=0}\) (wypada jeszcze napisać obliczenia do tego prowadzące), to funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest stała. Kładąc np. \(\displaystyle{ \alpha=0}\), otrzymujemy tę jedyną wartość, jaką przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ g}\), czyli zero.
Stąd \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) - 1 -3 \cos ^{2}2\alpha=0}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) = 1 + 3 \cos ^{2}2\alpha}\), c.b.d.o.

Takie rozwiązanie jest jak najbardziej akceptowalne, tym bardziej że rachunek różniczkowy wrócił do podstawy programowej na rozszerzeniu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Udowodnić tożsamość pochodną.

Post autor: a4karo »

Natomiast wykazanie, że \(\displaystyle{ g'(\alpha)\equiv 0}\) może być trudniejsze (i będzie), niż pokazanie oryginalnej tożsamości.
d_996
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 maja 2015, o 11:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Udowodnić tożsamość pochodną.

Post autor: d_996 »

Okej, dzięki wielkie. Dobrze wiedzieć, że jest jakieś koło ratunkowe jak będzie pustka w głowie. Mam nadzieję, że poziom trudności na rozszerzeniu będzie proporcjonalny do podstawy :d
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Udowodnić tożsamość pochodną.

Post autor: a4karo »

Natomiast to zadanko robi się prosto zauważając, że \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\) i że
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\) i kładąc \(\displaystyle{ a=\sin^2\alpha,\ b=\cos^2\alpha}\). Jedynka trygonometryczna sie przyda.
ODPOWIEDZ