Wykazać, że dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) = 1 + 3 \cos ^{2}2\alpha}\)
To jest zadanie maturalne. Kiedy je robiłem w domu to po "zwykłych" przekształceniach mi wyszło, ale jednak to zajęło trochę czasu. Dlatego moje pytanie jest takie: czy jeżeli na maturze nie wpadnę na żaden pomysł, nie będzie wychodziło, to jak umiem liczyć pochodne f złożonych i trygonometrycznych, to czy jak zauważę, że pochodna lewej strony jest równa prawej, to czy to może być dowód? Kiedyś właśnie oglądałem wykład, gdzie tożsamość trygonometryczną udowodniono właśnie licząc pochodne i potem że korzystając z wniosku tw. Lagrange'a. I właśnie proszę o odp, czy to przejdzie i jak bym to musiał potem słownie skomentować.
Udowodnić tożsamość pochodną.
Udowodnić tożsamość pochodną.
Ostatnio zmieniony 6 maja 2015, o 12:21 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Udowodnić tożsamość pochodną.
Dokładniej to mógłbyś zrobić tak:
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g(\alpha)=4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) - 1 -3 \cos ^{2}2\alpha}\) (tj. różnicę lewej i prawej strony). Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ g'(\alpha)=0}\) (wypada jeszcze napisać obliczenia do tego prowadzące), to funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest stała. Kładąc np. \(\displaystyle{ \alpha=0}\), otrzymujemy tę jedyną wartość, jaką przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ g}\), czyli zero.
Stąd \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) - 1 -3 \cos ^{2}2\alpha=0}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) = 1 + 3 \cos ^{2}2\alpha}\), c.b.d.o.
Takie rozwiązanie jest jak najbardziej akceptowalne, tym bardziej że rachunek różniczkowy wrócił do podstawy programowej na rozszerzeniu.
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g(\alpha)=4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) - 1 -3 \cos ^{2}2\alpha}\) (tj. różnicę lewej i prawej strony). Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ g'(\alpha)=0}\) (wypada jeszcze napisać obliczenia do tego prowadzące), to funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest stała. Kładąc np. \(\displaystyle{ \alpha=0}\), otrzymujemy tę jedyną wartość, jaką przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ g}\), czyli zero.
Stąd \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) - 1 -3 \cos ^{2}2\alpha=0}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ 4 \left( \sin ^{6} \alpha + \cos ^{6}\alpha \right) = 1 + 3 \cos ^{2}2\alpha}\), c.b.d.o.
Takie rozwiązanie jest jak najbardziej akceptowalne, tym bardziej że rachunek różniczkowy wrócił do podstawy programowej na rozszerzeniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 22175
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Udowodnić tożsamość pochodną.
Natomiast wykazanie, że \(\displaystyle{ g'(\alpha)\equiv 0}\) może być trudniejsze (i będzie), niż pokazanie oryginalnej tożsamości.
Udowodnić tożsamość pochodną.
Okej, dzięki wielkie. Dobrze wiedzieć, że jest jakieś koło ratunkowe jak będzie pustka w głowie. Mam nadzieję, że poziom trudności na rozszerzeniu będzie proporcjonalny do podstawy :d
-
- Użytkownik
- Posty: 22175
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Udowodnić tożsamość pochodną.
Natomiast to zadanko robi się prosto zauważając, że \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\) i że
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\) i kładąc \(\displaystyle{ a=\sin^2\alpha,\ b=\cos^2\alpha}\). Jedynka trygonometryczna sie przyda.
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\) i kładąc \(\displaystyle{ a=\sin^2\alpha,\ b=\cos^2\alpha}\). Jedynka trygonometryczna sie przyda.