Sprawdzenie rachunków

[pag15]

Czy \(\displaystyle{ \cos ^2 \left( 4x \right) = 1-\sin ^2 \left( 4x \right) ?}\)


oto tok mojego rozumowania :

Skoro
\(\displaystyle{ \cos \left( 2x \right) = \cos ^2 \left( x \right) - \sin ^2 \left( x \right)}\)
\(\displaystyle{ \cos \left( 4x \right) = \cos ^2 \left( 2x \right) - \sin ^2 \left( 2x \right)}\)
to
\(\displaystyle{ \cos ^2 \left( 4x \right) = \left[ \cos ^2 \left( 2x \right) - \sin ^2 \left( 2x \right) \right] ^2 = \cos ^4 \left( 2x \right) +\sin ^4 \left( 2x \right) - 2 \left[ \sin ^2 \left( 2x \right) \cos ^2 \left( 2x \right) \right] = \left[ \cos ^2 \left( 2x \right) + \sin ^2 \left( 2x \right) \right] ^2 - 4\cos ^2 \left( 2x \right) \sin ^2 \left( 2x \right) = 1 - \left[ 2\sin \left( 2x \right) \cos \left( 2x \right) \right] ^2 = 1-\sin ^2 \left( 4x \right)}\)

Nie jestem pewnien w obliczeniach, może ktoś mnie sprawdzić ?

[piasek101]

Lepiej podstaw \(\displaystyle{ 4x=\alpha}\) i po zabawie.

[Dilectus]

Przecież jedynka trygonometryczna mówi, że

\(\displaystyle{ \sin^2\left( \text{czegośtam}\right)+\cos^2\left( \text{czegośtam}\right)=1}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ \text{cośtam}}\) na świecie.

Zauważył to już w IV w. p.n.e. niejaki Pitagoras.