Równanie trygonometryczne. Jak przejść do danego rozwiązani?

Anxious · Post autor: **Anxious** » 27 kwie 2015, o 18:47

Witam,

Mam drobny problem z zadaniem.

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \left( \cos x-\sin x \right) ^{2}+\tg x=2\sin ^{2}x}\)
Moje rozwiązanie:

Dziedzina \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2} + k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos x-\sin x \right) ^{2}+\tg x=2\sin ^{2}x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \cos^{2}x - 2\sin x\cos x + \frac{\sin x}{\cos x} =2\sin ^{2}x}\) mnożę przez \(\displaystyle{ \cos x}\), aby pozbyć się ułamka

\(\displaystyle{ \cos x-2\sin x\cos ^{2}x+\sin x=2\sin ^{2}x\cos x}\)

\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = 2\sin x\cos ^2x + 2\sin ^2x\cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 2\sin x\cos x \cdot \left( \sin x+\cos x \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 2\sin x\cos x - 1 \right) \left( \sin x+\cos x \right) =0}\)

\(\displaystyle{ \cos x \left( \sin 2x - 1 \right) \left( \tg x + 1 \right) =0}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x = 1 \vee \tg x = -1}\) oznaczmy \(\displaystyle{ \alpha = 2x}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \Leftrightarrow x = \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ \tg x = -1 \Leftrightarrow x = - \frac{ \pi }{4} +k\pi}\)

Ostatecznie: \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{\pi}{4}+k\pi; -\frac{\pi}{4}+k\pi \right\}}\)

A rozwiązanie w książce to: \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi }{2}}\)

Czy to jest to samo? Jeżeli nie to gdzie zrobiłem błąd? Jeżeli tak, to w jaki sposób przejść do takiego rozwiązania?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 27 kwie 2015, o 18:56

Dzieląc przez \(\displaystyle{ \sin{x}}\) zgubiłeś jedno rozwiązanie.
Zamiast dzielić, trzeba go wynieść przed nawias.

Anxious · Post autor: **Anxious** » 27 kwie 2015, o 18:58

W którym miejscu dzieliłem przez \(\displaystyle{ \sin x}\) ?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 27 kwie 2015, o 19:00

Przepraszam, niedopatrzylam. Nie dzieliłeś.

Anxious · Post autor: **Anxious** » 27 kwie 2015, o 19:10

Ok. Rozrysowałem sobie to na kartce i teraz zauważyłem, że oczywiście po prostu rozwiązanie się zgadza.

: AU; 2cgim9d.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 74 razy

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 27 kwie 2015, o 19:13

To jest to samo.
Narysuj te punkty na osi, zobaczysz, żę powtarzają sie co\(\displaystyle{ \frac{k \pi }{2}}\)