Rozwiązać równanie

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
matix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieliczka
Podziękował: 46 razy

Rozwiązać równanie

Post autor: matix »

Dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) prawdziwe jest wyrażenie \(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right) = \frac{ \pi }{4}}\)?
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Rozwiązać równanie

Post autor: szachimat »

Cała lewa strona stanowi funkcję stałą, bo jej pochodna wynosi zero. A zatem, cała lewa strona wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) (łatwo to sprawdzić dla dowolnego "x" z dziedziny).
Tak więc wyznaczenie dziedziny będzie stanowiło odpowiedź.
matix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieliczka
Podziękował: 46 razy

Rozwiązać równanie

Post autor: matix »

Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem \(\displaystyle{ -1}\) ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Rozwiązać równanie

Post autor: kerajs »

Dobrze.

Bardziej klasyczny sposób:
\(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right) = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \tan \left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right)\right] =\tan \left( \frac{ \pi }{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\tan \left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x}\right)\right] +\tan \left[ \arctg\left( x\right)\right] }{1-\tan\left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x}\right) \right] \cdot \tan \left[\arctg \left( x\right)\right] } = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1-x}{1+x}+x}{1-\frac{1-x}{1+x} \cdot x}=1}\)
A dalej już umiesz.
matix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieliczka
Podziękował: 46 razy

Rozwiązać równanie

Post autor: matix »

Wychodzi mi z tego, że jest to prawda dla każdego x bez \(\displaystyle{ -1}\), więc nie wiem czy dobrze myślę
ODPOWIEDZ