Rozwiązać równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieliczka
- Podziękował: 46 razy
Rozwiązać równanie
Dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) prawdziwe jest wyrażenie \(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right) = \frac{ \pi }{4}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Rozwiązać równanie
Cała lewa strona stanowi funkcję stałą, bo jej pochodna wynosi zero. A zatem, cała lewa strona wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) (łatwo to sprawdzić dla dowolnego "x" z dziedziny).
Tak więc wyznaczenie dziedziny będzie stanowiło odpowiedź.
Tak więc wyznaczenie dziedziny będzie stanowiło odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieliczka
- Podziękował: 46 razy
Rozwiązać równanie
Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem \(\displaystyle{ -1}\) ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Rozwiązać równanie
Dobrze.
Bardziej klasyczny sposób:
\(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right) = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \tan \left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right)\right] =\tan \left( \frac{ \pi }{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\tan \left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x}\right)\right] +\tan \left[ \arctg\left( x\right)\right] }{1-\tan\left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x}\right) \right] \cdot \tan \left[\arctg \left( x\right)\right] } = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1-x}{1+x}+x}{1-\frac{1-x}{1+x} \cdot x}=1}\)
A dalej już umiesz.
Bardziej klasyczny sposób:
\(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right) = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \tan \left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x} \right) + \arctg\left( x\right)\right] =\tan \left( \frac{ \pi }{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\tan \left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x}\right)\right] +\tan \left[ \arctg\left( x\right)\right] }{1-\tan\left[ \arctg\left( \frac{1-x}{1+x}\right) \right] \cdot \tan \left[\arctg \left( x\right)\right] } = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1-x}{1+x}+x}{1-\frac{1-x}{1+x} \cdot x}=1}\)
A dalej już umiesz.
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 8 lis 2012, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieliczka
- Podziękował: 46 razy
Rozwiązać równanie
Wychodzi mi z tego, że jest to prawda dla każdego x bez \(\displaystyle{ -1}\), więc nie wiem czy dobrze myślę