Metoda analizy starożytnych

[piternet]

Witam,

Przeglądam starą książkę do liceum Leitnera i Żakowskiego i jest tam równanie \(\displaystyle{ \sin x + 1 = \cos x}\), które autor rozwiązuje opisaną wcześniej metodą analizy starożytnych.

Metoda ta zakłada, że każde kolejne równanie wynika z poprzedniego, natomiast niekoniecznie jest mu równoważne. Należy zatem otrzymane rozwiązania sprawdzić, podstawiając do równania.

Rozwiązanie autora to podniesienie stron do kwadratu - co potem pozwala sprowadzenie wszystkiego do funkcji \(\displaystyle{ \sin}\).

Natomiast nie rozumiem dlaczego jest to poprawne - jako że prawa strona może być ujemna to nie możemy przecież tego równania podnieść do kwadratu, bo "stracimy" niektóre rozwiązania - a tu autor jeszcze 'zyskuje', tzn. ma aż nadmiar, bo niektóre są złe.

Jak to działa, kiedy możemy podnieść równanie stronami do kwadratu? Zawsze jeśli potem sprawdzimy wynik? Bo przecież podnosząc do kwadratu stronami równanie \(\displaystyle{ 1 = -1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1 = 1}\), czyli z fałszu prawdę.

[szachimat]

Jeżeli masz ochotę to przeanalizuj tą stronę: viewtopic.php?f=135&t=384983
Trochę tam o tym pisałem.

[piternet]

Jeżeli masz ochotę to przeanalizuj tą stronę: https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?f=135&t=384983
Trochę tam o tym pisałem.

Przeczytałem, dzięki, ale mam jedno pytanie - nie ma żadnego prawa w takim razie, że jeśli po jednej stronie równości jest liczba dodatnia a po drugiej ujemna lub też nie znam znaków to nie mogę podnieść do kwadratu? Zawsze mogę podnieść i co najwyżej dostanę 'za dużo' rozwiązań?

A co z nierównościami? Kiedy można podnosić do kwadratu - tutaj tylko jeśli obie dodatnie?

[AndrzejK]

Bo przecież podnosząc do kwadratu stronami równanie \(\displaystyle{ 1 = -1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1 = 1}\), czyli z fałszu prawdę.

Sam sobie odpowiedziałeś na pytanie - chociaż to nie jest równanie. Przez podnoszenie do kwadratu możesz dostać nowe rozwiązania (na przykład tutaj po podniesieniu do kwadratu równość już zachodzi), dlatego otrzymane rozwiązanie musisz podstawić do równania wyjściowego.

Na przykład \(\displaystyle{ x=2}\). Jest tylko jedno, wyznaczone rozwiązanie. Ale przez podniesienie do kwadratu otrzymamy \(\displaystyle{ x^2=4}\), a z tego drugiego równania już mamy dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\). Ściśle wynika to z parzystości funkcji kwadratowej.

I tak, w twoim równaniu mamy:
\(\displaystyle{ \sin x+1=\cos x}\)

Załóżmy równanie spełnia jakaś tam liczba \(\displaystyle{ x=a}\). Wtedy, po podniesieniu równań stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ (\sin x+1)^2=\cos^2x}\) oprócz liczby \(\displaystyle{ a}\) równanie będzie też spełnione przez liczbę \(\displaystyle{ -a}\). Bo nieistotny jest znak wyrażenia, a jego wartość (podnoszenie do kwadratu spowoduje, że wartość i tak będzie dodatnia, niezależnie od tego jakiego znaku jest wyrażenie wewnątrz).

Oczywiście nie trzeba robić tego przykładu analizą starożytnych.
\(\displaystyle{ \sin x+1=\cos x \\ \sin x-\cos x = -1 \\ \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right)=-1 \\ \sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x - \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right)=-1 \\ \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4}\right) = -1}\)[/latex]

Dalej już łatwo.

[piternet]

Czyli zawsze gdy przy rozwiązywaniu równania podnoszę je stronami do kwadratu muszę sprawdzić wszystkie pierwiastki które otrzymałem?

Szczerze mówiąc to przez tyle zadań ile ostatnio przerobiłem na pewno w wielu podnosiłem coś stronami do kwadratu, a jakoś nigdy złych rozwiązań chyba przez to nie otrzymywałem.

[szachimat]

piternet, a co z nierównościami? Z nimi jest trochę gorzej.
Jeżeli \(\displaystyle{ a<b}\) i obie strony są dodatnie, to \(\displaystyle{ a^2<b^2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a<b}\) i obie strony są ujemne, to \(\displaystyle{ a^2>b^2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ a<0,\ b>0}\), to lepiej nie podnosić stronami do kwadratu, bo coś się może zepsuć.
Odpowiedź na ostatni post: tak.

[AndrzejK]

Czyli zawsze gdy przy rozwiązywaniu równania podnoszę je stronami do kwadratu muszę sprawdzić wszystkie pierwiastki które otrzymałem?

Nie, jeśli wcześniej wyznaczysz dziedzinę albo rozpatrzysz różne przypadki. Na przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+6}=x}\)
Można zrobić na dwa sposoby:
a) standardowo:
Najpierw ustalamy dziedzinę. Oczywiście wyrażeniem pod pierwiastkiem musi być nieujemne, stąd \(\displaystyle{ x+6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -6}\).
Ponadto \(\displaystyle{ x>0}\), bo dla ujemnych iksów prawa strona jest ujemna, a lewa dodatnia, więc równość nigdy nie zajdzie. Podnosimy równość stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ x+6=x^2 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=3}\). Przy czym pierwszą odpowiedź odrzucamy ze względu na to, że \(\displaystyle{ x>0}\).
b) analiza starożytnych:
Nie zważając na nic podnosimy obustronnie równanie do kwadratu:
\(\displaystyle{ x+6=x^2 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=3}\). Podstawiamy otrzymane rozwiązania do wyjściowego równania i otrzymujemy, że tylko \(\displaystyle{ x=3}\) je spełnia.

[Jan Kraszewski]

Szczerze mówiąc to przez tyle zadań ile ostatnio przerobiłem na pewno w wielu podnosiłem coś stronami do kwadratu, a jakoś nigdy złych rozwiązań chyba przez to nie otrzymywałem.

Pewien saper powiedział: "Szczerze mówiąc, tyle razy przechodziłem po pijaku przez to pole minowe, a jakoś nigdy nie wyleciałem w powietrze".

JK

[piternet]

Czyli zawsze gdy przy rozwiązywaniu równania podnoszę je stronami do kwadratu muszę sprawdzić wszystkie pierwiastki które otrzymałem?

Nie, jeśli wcześniej wyznaczysz dziedzinę albo rozpatrzysz różne przypadki. Na przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+6}=x}\)
Można zrobić na dwa sposoby:
a) standardowo:
Najpierw ustalamy dziedzinę. Oczywiście wyrażeniem pod pierwiastkiem musi być nieujemne, stąd \(\displaystyle{ x+6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -6}\).
Ponadto \(\displaystyle{ x>0}\), bo dla ujemnych iksów prawa strona jest ujemna, a lewa dodatnia, więc równość nigdy nie zajdzie. Podnosimy równość stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ x+6=x^2 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=3}\). Przy czym pierwszą odpowiedź odrzucamy ze względu na to, że \(\displaystyle{ x>0}\).
b) analiza starożytnych:
Nie zważając na nic podnosimy obustronnie równanie do kwadratu:
\(\displaystyle{ x+6=x^2 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=3}\). Podstawiamy otrzymane rozwiązania do wyjściowego równania i otrzymujemy, że tylko \(\displaystyle{ x=3}\) je spełnia.

Okej, dziękuję bardzo, dużo mi rozjaśniłeś