Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Anxious
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: Anxious »

Sprawdź, czy równość \(\displaystyle{ \frac{1+\sin 4x}{\cos 4x}= \frac{1+\tg 2x}{1-\tg 2x}}\) jest tożsamością trygonometryczną.

Tym razem trochę trudniejsze zadanie. Moja każda próba rozwiązania kończy się tak pogmatwaną formą, że nie potrafię nic skrócić. Z góry dziękuje za pomoc
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2015, o 16:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: musialmi »

Na dobry początek podstaw sobie \(\displaystyle{ y=2x}\), żeby nie zwariować Potem pewnie wyjdzie jakoś po przekształceniu lewej strony na kąty pojedyncze.
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2015, o 14:38 przez musialmi, łącznie zmieniany 2 razy.
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: Ania221 »

Rozpisuj prawą stronę.
Zamień tangensy na sinusy i cosinusy 2x, zrób wspólny mianownik na górze i na dole, poskracaj i rozszerz cały ułamek o sumę kwadratów z mianownika.
Anxious
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: Anxious »

Trochę się poskracało i wyszło mi jakoś dziwnie, że \(\displaystyle{ \tg 2x=1}\) co trochę nie ma sensu, pewnie gdzieś się walnąłem po drodze, sprawdzę wieczorem jeszcze. Dzięki za wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2015, o 16:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
PiotrowskiW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 649
Rejestracja: 14 lis 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wojkowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 67 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: PiotrowskiW »

Jeżeli można, to użyj po prostu rachunku różniczkowego. (jeżeli pochodna jest równa zero w każdym punkcie, to funkcja jest stała).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: Premislav »

Ale wyjdą średnio ładne pochodne, więc nie widzę sensu w takim zabiegu.
Wystarczy do lewej strony użyć wzorów na sinus podwojonego kąta i cosinus podwojonego kąta, po czym podzielić licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos^{2}2x}\) przy odpowiednich założeniach. A, no i jeszcze zastosować tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tg^{2}2x= \frac{1}{\cos^{2}2x}}\)
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: Ania221 »

Anxious pisze:Trochę się poskracało i wyszło mi jakoś dziwnie, że \(\displaystyle{ \tg 2x=1}\) co trochę nie ma sensu, pewnie gdzieś się walnąłem po drodze, sprawdzę wieczorem jeszcze. Dzięki za wskazówkę.
Tangensy mają zniknąć, trzeba je zamienić na sinusy i cosinusy.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: szachimat »

\(\displaystyle{ P=\frac{1+\tg 2x}{1-\tg 2x}= \frac{1+ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} }{1- \frac{\sin 2x}{\cos 2x} }= \frac{\cos 2x+\sin 2x}{\cos 2x-\sin 2x}= \frac{(\cos 2x+sin 2x)^2}{(\cos 2x-\sin 2x)(\cos 2x+\sin 2x)}= \frac{1+2\sin 2x\cos 2x}{\cos ^{2}2x -\sin ^{2}2x}= \frac{1+\sin 4x}{\cos 4x}=L}\)

Szach i Mat
Anxious
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Sprawdź tożsamość - kolejny przykład

Post autor: Anxious »

Ok. Udało się. Jak będę miał chwilę, to wstawię rozwiązanie, gdyby ktoś kiedyś go potrzebował.

Edit: Oho, widzę że szachimat już mnie wyświadczył. Dziękuje bardzo wszystkim za pomoc.
ODPOWIEDZ