Jak roziwązać takie równanie?
\(\displaystyle{ \cos x+ \frac{1}{2} \cos 2x = 0}\)
Robię tak:
1. Przekształcam \(\displaystyle{ 2 \cos x= -\cos 2x}\)
2. Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x=2\cos^{2}x-1}\) i otrzymuje: \(\displaystyle{ 2\cos^{2}x-2\cos x-1=0}\)
3. Podstawiam \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i otrzymuje równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ 2t^{2}-2t-1= 0}\).
4. Wyliczam pierwiastki i od razu cofam podstawienie:
\(\displaystyle{ \cos x_{1} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} \wedge \cos x_{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\)
5. Oczywiście zauważam, że rozwiązań tych je nieskończenie wiele oraz, że są one wyznaczone cyklicznie przez funkcje cosinus.
6. I jak to dalej zapisać? Wykorzystywanie funkcji cyklometrycznych raczej ńie ma tutaj sensu.
Całkiem niedawno liczyłam analogiczne równanie podobnym sposobem i okazało sie, źe nie był on najszczęśliwszy gdyż nie zawierał wszystkich serii rozwiązań. A jak jest w tym przypadku?
Bardzo proszę o pomoc.
Równanie z cosinusem
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Równanie z cosinusem
\(\displaystyle{ 2 \cos x= -\cos 2x \\
2 \cos x= -\left(2\cos^{2}x-1 \right) \\
2 \cos x + 2\cos^2x-1=0}\)
Masz błąd mały. Pewnie przez takie błędy ostatnio Ci nie wychodziło, bo metoda jest dobra. W swoim rozumowaniu zapomniałaś dodać, że \(\displaystyle{ t \in \left[ -1,1\right]}\) wtedy jedno z rozwiązań odpada. Ostatecznie warto skorzystać z funkcji cyklometrycznych.
2 \cos x= -\left(2\cos^{2}x-1 \right) \\
2 \cos x + 2\cos^2x-1=0}\)
Masz błąd mały. Pewnie przez takie błędy ostatnio Ci nie wychodziło, bo metoda jest dobra. W swoim rozumowaniu zapomniałaś dodać, że \(\displaystyle{ t \in \left[ -1,1\right]}\) wtedy jedno z rozwiązań odpada. Ostatecznie warto skorzystać z funkcji cyklometrycznych.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Równanie z cosinusem
Faktycznie, machnęłam się przy minusie.
Zostaje mi jedno roziwązanie: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\)
Mogę zapisać tak: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2} = \cos \left( -\frac{\pi}{3}+ 2k \pi\right) + \cos \left( \frac{\pi}{6}+2k \pi \right)}\)
Czy mogę tak zapisać?
Jak skorzystać z funkcji cyklometrycznych?
Zostaje mi jedno roziwązanie: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\)
Mogę zapisać tak: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2} = \cos \left( -\frac{\pi}{3}+ 2k \pi\right) + \cos \left( \frac{\pi}{6}+2k \pi \right)}\)
Czy mogę tak zapisać?
Jak skorzystać z funkcji cyklometrycznych?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Równanie z cosinusem
Nie, bo opisujesz rozwiązanie przez kolejne równanie, a nadal nie znasz kąta x.Poszukujaca pisze: Mogę zapisać tak: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2} = \cos \left( -\frac{\pi}{3}+ 2k \pi\right) + \cos \left( \frac{\pi}{6}+2k \pi \right)}\)
Czy mogę tak zapisać?
\(\displaystyle{ x _{0} =\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ x=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi \vee x=-\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi}\)Jak skorzystać z funkcji cyklometrycznych?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Równanie z cosinusem
Rozumiem, że z odwrotności funkcji arccosinus do cosinus wynika, że \(\displaystyle{ x_{0}=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\).kerajs pisze: \(\displaystyle{ x _{0} =\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ x=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi \vee x=-\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi}\)
Ale z czego wynikają te dwa rozwiązania? Dlaczego mam dopisać \(\displaystyle{ 2k\pi}\)?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Równanie z cosinusem
Tak.Poszukujaca pisze: Rozumiem, że z odwrotności funkcji arccosinus do cosinus wynika, że \(\displaystyle{ x_{0}=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\).
Bo w jednym okresie sinus i kosinus mają zwykle po dwa różne rozwiązania. Daje to dwie rodziny rozwiązań powiązanych okresem. Spójrz na rysunek ściągnięty z netu: Kropkami jest zaznaczona jedna rodzina rozwiązań (na malejącym ( prawym/wschodnim) zboczu sinusoidy), ale jak widzisz jest też druga niezaznaczona gdzie linia przerywana przecina sinusoidę (symetrycznie do pierwszej na rosnącym (lewym/zachodnim) zboczu)Ale z czego wynikają te dwa rozwiązania?
W treści zadania nie było przedziału w którym należy szukać rozwiązań, więc jest ich nieskończenie wiele.Dlaczego mam dopisać \(\displaystyle{ 2k\pi}\)?
Zresztą sama to napisałaś w pkt 5. swojego tematu.