Równanie z cosinusem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie z cosinusem

Post autor: Poszukujaca »

Jak roziwązać takie równanie?
\(\displaystyle{ \cos x+ \frac{1}{2} \cos 2x = 0}\)

Robię tak:
1. Przekształcam \(\displaystyle{ 2 \cos x= -\cos 2x}\)
2. Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x=2\cos^{2}x-1}\) i otrzymuje: \(\displaystyle{ 2\cos^{2}x-2\cos x-1=0}\)
3. Podstawiam \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i otrzymuje równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ 2t^{2}-2t-1= 0}\).
4. Wyliczam pierwiastki i od razu cofam podstawienie:
\(\displaystyle{ \cos x_{1} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} \wedge \cos x_{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\)
5. Oczywiście zauważam, że rozwiązań tych je nieskończenie wiele oraz, że są one wyznaczone cyklicznie przez funkcje cosinus.
6. I jak to dalej zapisać? Wykorzystywanie funkcji cyklometrycznych raczej ńie ma tutaj sensu.

Całkiem niedawno liczyłam analogiczne równanie podobnym sposobem i okazało sie, źe nie był on najszczęśliwszy gdyż nie zawierał wszystkich serii rozwiązań. A jak jest w tym przypadku?

Bardzo proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Równanie z cosinusem

Post autor: mortan517 »

\(\displaystyle{ 2 \cos x= -\cos 2x \\
2 \cos x= -\left(2\cos^{2}x-1 \right) \\
2 \cos x + 2\cos^2x-1=0}\)


Masz błąd mały. Pewnie przez takie błędy ostatnio Ci nie wychodziło, bo metoda jest dobra. W swoim rozumowaniu zapomniałaś dodać, że \(\displaystyle{ t \in \left[ -1,1\right]}\) wtedy jedno z rozwiązań odpada. Ostatecznie warto skorzystać z funkcji cyklometrycznych.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie z cosinusem

Post autor: Poszukujaca »

Faktycznie, machnęłam się przy minusie.

Zostaje mi jedno roziwązanie: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\)
Mogę zapisać tak: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2} = \cos \left( -\frac{\pi}{3}+ 2k \pi\right) + \cos \left( \frac{\pi}{6}+2k \pi \right)}\)

Czy mogę tak zapisać?

Jak skorzystać z funkcji cyklometrycznych?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równanie z cosinusem

Post autor: kerajs »

Poszukujaca pisze: Mogę zapisać tak: \(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1+\sqrt{3}}{2} = \cos \left( -\frac{\pi}{3}+ 2k \pi\right) + \cos \left( \frac{\pi}{6}+2k \pi \right)}\)

Czy mogę tak zapisać?
Nie, bo opisujesz rozwiązanie przez kolejne równanie, a nadal nie znasz kąta x.
Jak skorzystać z funkcji cyklometrycznych?
\(\displaystyle{ x _{0} =\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ x=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi \vee x=-\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Równanie z cosinusem

Post autor: Poszukujaca »

kerajs pisze: \(\displaystyle{ x _{0} =\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ x=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi \vee x=-\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}+k2 \pi}\)
Rozumiem, że z odwrotności funkcji arccosinus do cosinus wynika, że \(\displaystyle{ x_{0}=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\).
Ale z czego wynikają te dwa rozwiązania? Dlaczego mam dopisać \(\displaystyle{ 2k\pi}\)?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równanie z cosinusem

Post autor: kerajs »

Poszukujaca pisze: Rozumiem, że z odwrotności funkcji arccosinus do cosinus wynika, że \(\displaystyle{ x_{0}=\arccos \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\).
Tak.

Ale z czego wynikają te dwa rozwiązania?
Bo w jednym okresie sinus i kosinus mają zwykle po dwa różne rozwiązania. Daje to dwie rodziny rozwiązań powiązanych okresem. Spójrz na rysunek ściągnięty z netu:
sinus.jpg
sinus.jpg (6.16 KiB) Przejrzano 394 razy
Kropkami jest zaznaczona jedna rodzina rozwiązań (na malejącym ( prawym/wschodnim) zboczu sinusoidy), ale jak widzisz jest też druga niezaznaczona gdzie linia przerywana przecina sinusoidę (symetrycznie do pierwszej na rosnącym (lewym/zachodnim) zboczu)

Dlaczego mam dopisać \(\displaystyle{ 2k\pi}\)?
W treści zadania nie było przedziału w którym należy szukać rozwiązań, więc jest ich nieskończenie wiele.
Zresztą sama to napisałaś w pkt 5. swojego tematu.
ODPOWIEDZ