Dowodzenie nierówności i równości.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
mich12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 13 paź 2013, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 29 razy

Dowodzenie nierówności i równości.

Post autor: mich12 »

1. Wykaż, że \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha + \sin 2 \beta +\sin 2 \gamma= 4 \sin ( \alpha + \beta ) \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ 2 \alpha +2 \beta +2 \gamma = \pi}\)

2.
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \sin ^{3}x \cdot \cos x - \cos ^{3}x \cdot \sin x \le \frac{1}{4}}\)

3.
Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{2\sin (2x)-3\cos (2x)}{4\sin (2x)+5\cos (2x)} = -\frac{9}{4}}\), jeżeli \(\displaystyle{ \tg x= 3}\).
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2015, o 19:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Dowodzenie nierówności i nierówności.

Post autor: mortan517 »

Drugie coś powyciągaj, a w trzecim podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\).
mich12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 13 paź 2013, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 29 razy

Dowodzenie nierówności i równości.

Post autor: mich12 »

W drugim wyszło że \(\displaystyle{ \sin 4x \ge -1}\), a ta nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x}\)?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Dowodzenie nierówności i równości.

Post autor: piasek101 »

1) Idzie normalnie - wyznacz z ostatniego \(\displaystyle{ 2\gamma}\) wstaw do pierwszego.

Pozamieniaj wszystko na funkcje pojedynczych kątów i grupuj na lewej aby dojść do prawej.

[edit] 2) tak wyjdzie, i jest spełnione dla każdego x-sa.
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2015, o 20:29 przez piasek101, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Dowodzenie nierówności i równości.

Post autor: mortan517 »

Drugie - jest ok.
mich12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 180
Rejestracja: 13 paź 2013, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 29 razy

Dowodzenie nierówności i równości.

Post autor: mich12 »

W pierwszym po lewej mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha (1-\cos 2 \beta ) + \sin 2 \beta (1- \cos 2 \alpha )}\)

I nie wiem co dalej :/
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Dowodzenie nierówności i równości.

Post autor: piasek101 »

Rozpisz te cosinusy podwojonych kątów - tak żeby jedynki wyparowały. Sinusy też rozpisz i wyciągnij przed nawias czwórkę i cosinusy (te co mają zostać po prawej).
ODPOWIEDZ