Nierówności trygonometryczne

[desiderata]

Cześć!
Mam problem z rozwiązaniem zadania: \(\displaystyle{ \sin x\cos x < \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Próbowałam je sama rozwiązać w ten sposób:
\(\displaystyle{ \sin x\cos x = \frac{1}{2} \sin 2x}\)
\(\displaystyle{ 2x=t}\)
pomnożyłam przez \(\displaystyle{ 2}\)
i wyszło mi
\(\displaystyle{ \sin t < \sqrt{2}}\)
Niestety w tym momencie utknęłam. Proszę o pomoc!

[jutrvy]

No ok, ale zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} > 1}\), oraz \(\displaystyle{ \sin(t) \le 1}\), więc to będzie spełnione dla każdego \(\displaystyle{ t}\)

[desiderata]

No ok, ale zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} > 1}\), oraz \(\displaystyle{ \sin \left( t \right) \le 1}\), więc to będzie spełnione dla każdego \(\displaystyle{ t}\)

Ahh, dziękuje bardzo! Czyli odpowiedź może brzmieć tak:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right)}\)

doszłam do tego w ten sposób:
w notatkach mam zapisane:
\(\displaystyle{ -1 \le \sin \alpha \le 1}\)
i do tego zapisuje: \(\displaystyle{ \sqrt{2} \ge 1}\)

z tego wywnioskowałam, że \(\displaystyle{ t \in \left( -1 ; 1 \right)}\)
czyli \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right)}\)

[szachimat]

desiderata, tu trochę naplątałaś, bo sinus nie jest utożsamiany z t. Zarówno \(\displaystyle{ t \in R}\), jak również \(\displaystyle{ x \in R}\) (i to jest odpowiedź).

[kropka+]

Od początku. Gdy sinus i cosinus są przeciwnych znaków, to lewa strona jest ujemna, więc nierówność zachodzi. Gdy sinus i cosinus są jednakowych znaków to podnosisz stronami do kwadratu, stosujesz jedynkę trygonometryczną i dostajesz równanie dwukwadratowe.

[jutrvy]

Nie - bez sensu (poprawnie, ale niepotrzebne, chyba że ktoś jest pracoholikiem )... Ona podała prostsze rozwiązanie, które jest dobre. Po co komplikować sprawę?...