Najmniejsza i największa wartość funkcji.

[bartosz254]

Proszę o pomoc przy:
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)= (\sin^{2}x)^{3} + (\cos^{2}x)^{3}}\)

[piasek101]

Zacznij od wzoru \(\displaystyle{ a^3+b^3=...}\)

[bartosz254]

Wyszło \(\displaystyle{ g(x)= 1- \sin^{2}2x}\). W odpowiedziach jest nieco inaczej niż na wykresie z tego równania.

[Konradek]

\(\displaystyle{ ( \sin ^{2}x)^3+( \cos ^{2}x)^3=( \sin ^{2}x+ \cos ^{2}x)( \sin ^{4}x- \sin ^{2}x \cos ^{2}x+ \cos ^{4}x)= \\ = \sin ^{4}x+ \cos ^{4}x- \sin ^{2}x \cos ^{2}x=( \sin ^{2}x+ \sin ^{2}x)^{2}-2 \sin ^{2}x \cos ^{2}x- \sin ^{2}x \cos ^{2}x=}\)
\(\displaystyle{ =1-3 \sin ^{2}x \cos ^{2}x=1-( \sqrt{3} \sin x \cos x )^{2}=1-\left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot 2 \sin x \cos x \right)^{2}= \\ =1-\left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \sin 2x \right)^{2}=1- \frac{3}{4} \cdot \sin^{2}2x}\)

wskazówka #2:    

\(\displaystyle{ y=\sin^{2} x \xrightarrow{S^{k= \frac{1}{2} }_{OY}}y=\sin^{2}2x \xrightarrow{S^{k= -\frac{3}{4} }_{OX}} y=- \frac{3}{4} \sin ^{2}2x \xrightarrow{T_{\vec{u}=[0, 1]}}y=- \frac{3}{4} \sin ^{2}2x +1}\)

[bartosz254]

Nie myślę już o tej godzinie.... Po podstawieniu do tej funkcji 0 i 1 wychodzi najmniejsza wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) oraz największa \(\displaystyle{ 1}\) zgodnie z odpowiedziami. Dziękuje bardzo za pomoc