Równanie z cosinusami.

[bolt9]

Witam, mam do rozwiązania następujące równanie:

\(\displaystyle{ \cos 4x\cos 6x\cos 8x=1}\)

Rozważyłem 4 następujące przypadki:

\(\displaystyle{ \cos 4x=1 \wedge \cos 6x=1 \wedge \cos 8x=1}\)

\(\displaystyle{ \cos 4x=-1 \wedge \cos 6x=-1 \wedge \cos 8x=1}\)

\(\displaystyle{ \cos 4x=-1 \wedge \cos 6x=1 \wedge \cos 8x=-1}\)

\(\displaystyle{ \cos 4x=1 \wedge \cos 6x=-1 \wedge \cos 8x=-1}\)

Z pierwszego przypadku uzyskałem wynik \(\displaystyle{ x=0+k2 \pi}\) i jest to wynik ostateczny
W pozostałych przypadkach, poszczególne równania nie mają części wspólnych i tutaj rodzi się moje pytanie. Jak udowodnić, że dane wartości nigdy się nie "spotkają", np. że \(\displaystyle{ \left( x= \frac{ \pi }{4}+k \frac{ \pi }{2} \right)}\) nigdy nie spotka się z \(\displaystyle{ \left( x= \frac{ \pi }{6}+k \frac{ \pi }{3} \right)}\) ???

[ZF+GCH]

Nie wprost. Załóżmy, że ist. takie liczby całkowite \(\displaystyle{ k,n}\), że \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{4}+k\frac{\Pi}{2}=\frac{\Pi}{6}+n\frac{\Pi}{3}}\). Wtedy jednak \(\displaystyle{ \Pi=(4n-6k)\Pi}\), a więc \(\displaystyle{ 4n=6k+1}\). Z jednej strony jest liczba parzysta, z drugiej nieparzysta, sprzeczność.

[vpprof]

Jak udowodnić, że dane wartości nigdy się nie "spotkają", np. że \(\displaystyle{ \left( x= \frac{ \pi }{4}+k \frac{ \pi }{2} \right)}\) nigdy nie spotka się z \(\displaystyle{ \left( x= \frac{ \pi }{6}+k \frac{ \pi }{3} \right)}\) ???

Jeśli chodzi ci o udowodnienie, że \(\displaystyle{ \neg \bigvee_{k_1,k_2 \in \ZZ} \left( \frac{ \pi }{4}+k_1 \frac{ \pi }{2} = \frac{ \pi }{6}+k_2 \frac{ \pi }{3}\right)}\), to jeśli podzielisz okres funkcji \(\displaystyle{ \cos}\) na \(\displaystyle{ 24}\) części, oznaczmy taką część \(\displaystyle{ p=\frac{\pi}{12}}\), to powyższe równanie można zapisać jako \(\displaystyle{ (3+6k_1)p=(2+4k_2)p}\), czyli:

\(\displaystyle{ 1+6k_1=4k_2}\)

Prosto pokazać, że takie równanie nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ \ZZ}\), bowiem lewa strona musi być nieparzysta, a prawa parzysta, więc nie mogą być sobie równe. Symbolicznie:
\(\displaystyle{ 1+6k_1=4k_2 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+0k_1=0k_2 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ 1=0 \pmod{2}}\)
co jest sprzecznością.

[bolt9]

Dziękuję!