Równanie trygonometryczne

[adinho58]

Witam !

\(\displaystyle{ \sin 3x - \sin x= \sin 2x}\)

Korzystam ze wzorów na różnice itp.
\(\displaystyle{ 2 \sin x \cos 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \cos 2x =\cos x \Rightarrow \cos 2x - \cos x = 0}\)

Tym razem wzór na różnice cosinusów.
\(\displaystyle{ -2 \sin \frac{3}{2} x \sin \frac{x}{2} =0}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}x =k \pi \vee \frac{x}{2}x=k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{2} \vee x=2k \pi}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ k \in C}\)

Jednak odpowiedzi to :
\(\displaystyle{ x=k \pi \vee x=- \frac{2}{3} \pi +2k \pi \vee x= \frac{2}{3} \pi +2k \pi}\)
Oraz \(\displaystyle{ x=k \pi \vee x= \frac{2}{3}k \pi}\)

Gdzie mam bład ?

[mortan517]

Skracasz przez \(\displaystyle{ \sin x}\), a nie wiesz czy nie jest zerem.

[Dilectus]

Popatrzmy:

\(\displaystyle{ \sin 3x - \sin x= \sin 2x}\)

Skorzystaj z tożsamości trygonometrycznej na różnicę sinusów (po lewej stronie r-nia) i se wzoru na sinus podwojonego kąta (po prawej stronie):

\(\displaystyle{ \sin x \pm \sin y = 2 \sin \frac {x \pm y} 2 \cdot \cos \frac {x \mp y } 2}\)

Dostaniesz r-nie:

\(\displaystyle{ 2\sin x \cos 2x=2\sin x \cos x}\)

\(\displaystyle{ 2\sin x\left( \cos 2x-\cos x\right)=0}\)

Dalej dasz radę sam?

[mortan517]

W ostatnie równanie wkradł się mały błąd

\(\displaystyle{ 2\sin x\left( \cos 2x-\cos x\right)=0}\)

[Dilectus]

Masz rację, mortan517. Dziękuję. Już poprawiłem.