Parametr,dla którego równanie ma co najmniej jedno rozwiązan

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 2 kwie 2015, o 22:55

Witam!
Mam zadanie o takiej treści:
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x - \cos x + m = 0}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Jakie warunki powinienem tutaj założyć?
\(\displaystyle{ \delta \ge 0 \wedge t _{1}, t _{2} \ge 1 \wedge t _{1}, t _{2} \le 1}\) ?
Gdzie \(\displaystyle{ t = \cos x}\)

Post autor: **Zahion** » 2 kwie 2015, o 23:05

Równanie na deltę poprawne, natomiast kolejnych dwóch warunków w ogóle nie rozumiem, wynika z nich, że obie z liczb \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\) wynoszą \(\displaystyle{ 1}\). Jakie wartości przyjmuje cosinus, więc jakie wartości musi przyjmować \(\displaystyle{ t}\) ?

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 2 kwie 2015, o 23:07

No cosinus przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1: 1\right\rangle}\) ale nie wiem jaki warunek postawić :/

Post autor: **Zahion** » 2 kwie 2015, o 23:15

\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\), to jest warunek dla \(\displaystyle{ t}\).

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 2 kwie 2015, o 23:16

I to wystarczy ?

Post autor: **Zahion** » 2 kwie 2015, o 23:23

Jednak zrobiłbym to inaczej.
Mianowicie przekształcił do postaci \(\displaystyle{ - \cos^{2} x + \cos x = m}\). Wyznacz zbiór wartości funkcji po lewej stronie, będzie to Twoje \(\displaystyle{ m}\).

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 2 kwie 2015, o 23:35

I w takim przekształceniu wyznaczenie zbioru wartości będzie końcem zadania ?

Post autor: **Zahion** » 2 kwie 2015, o 23:38

Tak, ponieważ funkcja z lewej strony będzie ciągła w tym zbiorze.

Axon96 · Post autor: **Axon96** » 2 kwie 2015, o 23:46

Ok, dziękuję !