Nierówność z sinusem

[method8]

Rozwiązać dla \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2}<x<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin(x)-x}{-x}<-x \Leftrightarrow \frac{\sin(x)-x}{x}>x \Leftrightarrow \sin(x)-x<x^2 \Leftrightarrow x^2+x-\sin(x)>0 \Leftrightarrow ????}\)

Jak dalej postąpić? A może zupełnie inaczej od początku?

[Dilectus]

Popatrzmy:

\(\displaystyle{ \frac{\sin(x)-x}{-x}<-x\ \quad /\cdot -x}\)

\(\displaystyle{ \sin(x)-x<x^2}\)

znaku nie zmieniam, bo iks jest ujemne z założenia

Możesz też zrobić tak:

1. Mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ -1}\), zmieniając oczywiście znak nierówności.

2. Mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ x}\), zmieniając powtórnie znak nierówności, bo \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{\pi}{2}, \ 0 \right)}\)

[method8]

\(\displaystyle{ \sin(x)-x<x^2}\)

Załóżmy, że nie wiemy że dla wspomnianego przedziału nierówność zachodzi. TEraz trzeba to rozwiązać. Jak z tym polecieć?

[Dilectus]

Popatrzmy na równanie

\(\displaystyle{ \sin(x)-x=x^2}\)

Jak to rozwiązać?

Jak łatwo widać, jeden pierwiastek to \(\displaystyle{ x=0}\). Czy jest więcej pierwiastków? Musisz to sprawdzić.

Napiszmy to równanie tak:

\(\displaystyle{ \sin(x)=x^2+x}\)

teraz narysuj wykresy obu funkcji - tej po lewej i tej po prawej stronie równania, a więc sinusoidę i parabolę. Zobacz, gdzie się wykresy przecinają i w jakich przedziałach iksów jeden wykres leży nad drugim. Weź pod uwagę to, że \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{\pi}{2}, \ 0 \right)}\)
I masz rozwiązaną nierówność.

[method8]

Nie tak łatwo wywnioskować z rysunku gdzie sie wykresy przecinają. Wiadomo, że w zerze. Gdzie jeszcze? No chyba nigdzie...chyba bo tam blisko zera sie gmera...

[Dilectus]

A jak rysowałeś? Spróbuj w programie Graph (do pobrania z ).
W tym programie narysujesz też funkcję \(\displaystyle{ y=x^2+x-\sin(x)}\), a to rozwieje Twoje wątpliwości.

[kropka+]

Edit. Coś tu zamąciłam.

[Jakuss]

Można też zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) \le x \Rightarrow \sin \left( x \right) -x \le 0}\) a \(\displaystyle{ x^2 \ge 0}\) zatem \(\displaystyle{ x^2 \ge \sin \left( x \right) - x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 0}\) Teraz tylko trzeba wyłączyć z rozwiązania takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) - x = 0}\), czyli \(\displaystyle{ x=0}\).
Zatem rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) - x < x^2}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right)}\)