Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: Kartezjusz »

Punkty \(\displaystyle{ ( x, \sin x ) \ (y, \sin y + 2)}\) oblicz odległość tych punktów. Dostaniesz funkcję dwóch zmiennych
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: a4karo »

Jest to problem z książki Z. Skoczylasa. Autor nie zna rozwiązania. Wydaje się nietrywialne.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: szachimat »

Kartezjusz pisze:Jak funkcja się przesuwa, to jej styczne też.
Zobacz. Jeśli masz \(\displaystyle{ f'(x)}\), to podaj pochodne takich funkcji
\(\displaystyle{ f(x+38779)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) + 38779}\)
Szczerz mówiąc nie wiem, czy ta wskazówka była do mojego poprzedzającego postu.
Bo jeżeli tak, to mam np.
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=f(x+38779)=(x+38779) ^{3}}\)
\(\displaystyle{ h(x)=f(x) + 38779=x ^{3}+ 38779}\)
I co mi da policzenie pochodnych? Tyle, że są różne.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: jutrvy »

Pomyliwszy mi się trochę... miałem na myśli funkcję odległości punktu \(\displaystyle{ \left( x, f \left( x \right) \right)}\) od punktu \(\displaystyle{ \left( 0,0 \right)}\).

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sqrt{x^2 + \left( \sin \left( x \right) + 2 \right) ^2}}\). Teraz lepiej?

-- 28 mar 2015, o 23:43 --

PS Jak Cię moje rozwiązanie nie przekonuje, to pomyśl tak. Znajdź minimum lokalne, tam wykresy są styczne do przesuniętej osi \(\displaystyle{ OX}\), więc weź wyznacz prostą prostopadłą do stycznych, a potem policz odległość między nimi (to będzie sama wysokość). Pozostanie Ci jeszcze udowodnić, że te krzywe są od siebie odległe w każdym punkcie o tyle samo. Aby to zauważyć wystarczy prosta obserwacja.

Niech \(\displaystyle{ i_2 \left( x \right) = x+2}\) oraz \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin \left( x \right)}\). Przecież funkcja zadana wzorem \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\sin \left( x \right) +2}\) jest złożeniem \(\displaystyle{ i_2\circ f}\), czyli po prostu wystarczy policzyć odległość (funkcja \(\displaystyle{ d}\)).
\(\displaystyle{ d \left( \left( x,y \right) , \left( x, i_2 \left( y \right) \right) \right)}\). Wskazówka: wyjdzie \(\displaystyle{ 2}\).
Ostatnio zmieniony 29 mar 2015, o 09:07 przez Afish, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: szachimat »

jutrvy, jeżeli a4karo napisał, że "Jest to problem z książki Z. Skoczylasa. Autor nie zna rozwiązania", to chyba to co napisałeś wszystkim nam się udzieli.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: jutrvy »

Nie no dooobra, głupoty piszę - trochę jestem zjarany...
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: Medea 2 »

Czy cały problem nie polega na tym, że nie umiemy rozwiązać równania \(\displaystyle{ \cos x(1-\sin x)= x-1}\)?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: arek1357 »

Czemu nie umiemy tego rozwiązać?
Może w szkole niezbyt pilnie uczyliśmy się o funkcjach trygonometrycznych!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: a4karo »

arek1357 pisze:Czemu nie umiemy tego rozwiązać?
Może w szkole niezbyt pilnie uczyliśmy się o funkcjach trygonometrycznych!
Nie. po prostu nie każde równanie da się "rozwiązać" w postaci \(\displaystyle{ x=}\) i tutaj jakieś ogólnie znane wyrażenia zwierające pierwiastki, potęgi, stałe etc.

Z tego punktu widzenia powinniśmy docenić "układaczy" zadań, którzy tak dobierają warunki, aby rozwiązania były "ładne".
W ogromnej większości przypadków łatwo wykazać, że rozwiązanie istnieje (choćby korzystając z własności Darboux), ale znaleźć go nie potrafimy, choć umiemy podać dowolnie dokładne jego przybliżenie.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: arek1357 »

A z tą odległością między tymi wykresami to w końcu problem został rozwiązany bo wydaje mi się że trzeba zerknąć kiedy prostopadła do jednego wykresu jest prostopadła do drugiego a potem wybrać minimum z tych odległości prostopadłych.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: Dilectus »

arek1357, to chyba nie tak. Trzeba sprawdzić, który punkt drugiego wykresu jest najbliżej konkretnego punktu pierwszego wykresu i przebadać w ten sposób wszystkie punkty pierwszego wykresu, a to jest co innego niż sprawdzanie, kiedy prostopadła do pierwszego wykresu jest prostopadła do drugiego.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Najmniejsza odległość między funkcją sin(x) i sin(x)+2

Post autor: szachimat »

Dilectus pisze:arek1357, to chyba nie tak. Trzeba sprawdzić, który punkt drugiego wykresu jest najbliżej konkretnego punktu pierwszego wykresu i przebadać w ten sposób wszystkie punkty pierwszego wykresu, a to jest co innego niż sprawdzanie, kiedy prostopadła do pierwszego wykresu jest prostopadła do drugiego.
Choć w przypadku niektórych funkcji do tego się sprowadzi.
ODPOWIEDZ