Kiedy można mnożyć/dzielić przez mianownik w funk. trygon?

[azalut]

Cześć wszystkim
Robie zadania z trygonometrii, równania i nierówności obecnie. Zastanawia mnie jedna rzecz - na matematyce uczono mnie, że mając np. ułamek jakiś piętrowy i w mianowniku sinx, cosx albo jakiś gorszy krzaczek z funkcjami trygonometrycznymi, to "nie wolno mnożyć przez to co w mianowniku bo funkcje trygnometryczne mogą być równe 0"
tzn w przypadku gdy mam:

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{1-\sin x} + \frac{1-\sin x}{\cos x} = 4}\)

Nie moge sobię pomnożyć całego równania razy:

\(\displaystyle{ / \cdot \left( 1-\sin x\right)\cos x}\)
bo to może dać w mianowniku 0. Jednak to znacznie utrudnia mi robienie tych równości, a jak patrze na odpowiedzi gdzieś w internecie to ludzie mnożą swobodnie i nawet dziedziny nie określają i odpowiedzi wychodzą dobrze

nie wiem czy to poprawne/niepoprawne albo poprawne ale ryzykowne

może mnie ktoś uświadomić? obecnie robie ten przykład który właśnie podałem wyżej i wychodzą mi niezłe bzdury

dzięki

edit:
chyba, że zrobie na początku dziedzinę równania i rozwiąże mnożąc sobie do woli, a na końcu z tych x-ów które mi wyjdą wyklucze te które nie należą do dziedziny

[Lafoniz]

bo to może dać w mianowniku 0. Jednak to znacznie utrudnia mi robienie tych równości, a jak patrze na odpowiedzi gdzieś w internecie to ludzie mnożą swobodnie i nawet dziedziny nie określają i odpowiedzi wychodzą dobrze

Dobre odpowiedzi przy takiej metodzie rozwiązywania to po prostu kwestia szczęścia, którego nie będziesz mógł mieć zawsze, w ogóle działanie na funkcjach bez określenia dziedziny jest bezsensowne.

nie wiem czy to poprawne/niepoprawne albo poprawne ale ryzykowne

Niepoprawne i ryzykowne, ale większość osób i tak będzie znała jedynie algorytmy rozwiązywania pewnych problemów a nie matematykę. Dziedzinę zawsze trzeba znać, żeby w ogóle zacząć działać.

może mnie ktoś uświadomić? obecnie robie ten przykład który właśnie podałem wyżej i wychodzą mi niezłe bzdury

Z pewnością na początku warto określić dziedzinę na której w ogóle zamierzasz pracować, po drugie warto zauważyć, że po lewej stronie równania dodajesz do siebie odwrotności.

Chciałeś dowiedzieć się czegoś na temat operacji związanych z mianownikiem i funkcjami trygonometrycznymi, ale ja nie jestem do końca pewien. Znam natomiast świetną praktyczną metodę, która mówi Ci czy dane przekształcenie było równoważne.

Wystarczy skorzystać z podanego przeze mnie linka do "wolframa", wpisać równanie i jego przekształconą formę, jeżeli otrzymasz te same rozwiązania to znaczy, że przekształcenie było równoważne, co nie zmienia faktu, że i tak należy się dowiedzieć dlaczego.

[azalut]

no dobra @Lafoniz tylko jesli to mnożenie jest niepoprawne to w takim razie jak zrobić to równanie? bo inaczej niż mnożeniem nic konkretnego nie moge wymyślić

może bardziej chciałbym wiedzieć jak podejść do rozwiązywania piętrowych równań albo sytuacji w których mam okazje i jest mi wygodnie pomnożyć ale nie moge?

a nie jest tak, że okreslając dziedzinę, a potem wykluczająć x-y nienależace do dziedziny możemy mnożyc przez te mianowniki?

w tym roku matura i dlatego muszę to umieć zrobić bez pomocy jak np. internet ale dzięki za link skorzystam

[szachimat]

Nie wiem, kto Ci tak naopowiadał, że nie można mnożyć przez mianownik. Chyba, że plącze Ci się teoria związana z dzieleniem, bo czynność ta może rzeczywiści dać 0 w mianowniku.
Natomiast na maturze nie musisz się bać - spokojnie mnóż przez mianownik. Na koniec tylko pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny z przykładu wyjściowego.

[azalut]

@szachimat
tak sobie myśle.. bo gdybym miał zadanie gdzie w mianowniku byłby np \(\displaystyle{ \sin x}\) i chciałbym zrobić
\(\displaystyle{ /\cdot \sin x}\)
a \(\displaystyle{ \sin x}\) może przyjąć wartość \(\displaystyle{ 0}\) to wtedy wymnoże przez zero

czy coś źle myśle?

ale jesli moge mnożyc przez mianownik na maturze i potem dziedziną wykluczyć to kamień z serca

a mógłbyś troche dokładniej powiedzieć o co chodzi z tym dzieleniem gdzie może dać \(\displaystyle{ 0}\)? jakis prosty przykład?

[Konradek]

Jeżeli w mianowniku masz np. \(\displaystyle{ \sin x}\) to podstawową rzeczą jest wykluczenie z dziedziny tych argumentów, dla których \(\displaystyle{ \sin x=0}\), co powoduje, że w takim przykładzie \(\displaystyle{ \forall _{x \in D} \sin x \neq 0}\), czyli możesz pomnożyć.

[szachimat]

@szachimat
tak sobie myśle.. bo gdybym miał zadanie gdzie w mianowniku byłby np sinx i chciałbym zrobić
\(\displaystyle{ /\cdot \sin}\)
a sinx może przyjąć wartość 0 to wtedy wymnożę przez zero

Możesz spokojnie mnożyć, bo ten sinus nie może przyjąć wartości 0, jako że jest w mianowniku - ten fakt wykluczysz ustalając właśnie dziedzinę.

[azalut]

ten fakt wykluczysz ustalając właśnie dziedzinę.

i o tym właśnie pomyślałem jak zrobiłem edit do głównego posta - przeciez wyklucze to w dziedzinie

a jak z tym przykładem jesli chodzi o dzielenie, gdzie dałoby to zero?

[szachimat]

Nigdy nie dziel przez coś co zawiera zmienną "x", jeżeli nie masz pewności, że jest to wyrażenie różne od zera.
I jeszcze zerknij na inne operacje, o których napisałem tutaj: viewtopic.php?f=135&t=384983

PS
Nie edytuj w przyszłości wyjściowego postu, bo jeżeli ktoś odpisuje na bieżąco, to już drugi raz nie czyta tego co wyżej. A to może doprowadzić do nieporozumień - lepiej pisać w kolejnym poście swoje poprawki.

[azalut]

@szachimat
dzięki! wiele mi pomogłeś
dużo mądrego tam piszesz w tym linku który podesłałeś

co do edycji, udzielam się dużo na innym forum o troche innej tematyce i tam raczej nacisk na edycję, stąd mam przyzwyczajenie ale zapamiętam jak się tu pisze

[Michalinho]

Co do mnożenia przez mianownik, to rzeczywiście w równaniach można, pamiętając na początku o dziedzinie. Myślę, że pomyliło ci się z zasadą dotyczącą nierówności, bo wtedy nie wiesz czy mianownik jest dodatni czy ujemny, a to ma znaczenie. W nierównościach nie wolno mnożyć przez zmienną

[azalut]

@Michalinho aa! faktycznie, w nierównościach nie moge czegoś takiego zrobić
wtedy wszystko na 1 strone i upraszczać ile się da?

[szachimat]

Albo możesz mnożyć przez mianownik podniesiony do kwadratu.

[azalut]

aa fakt, za późno już i trochę mi się myślenie wyłączyło chyba.. trzeba odespać
jeszcze raz dzięki za wyjaśnienia