Problem z równaniem

[Adamcio121]

Witam serdecznie rozwiązując pewne równanie trygonometryczne doprowadziłem je do postaci:
\(\displaystyle{ \sin(2x) + \cos(2x) = 1}\)
podniosłem obydwie strony do kwadratu i otrzymałem
\(\displaystyle{ \sin^{2} (2x) + \cos^{2} (2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) =1}\)
następnie skorzystałem z 1 trygonometrycznej, odjąłem stronami oraz zastosowałem wzór na sinus podwojonego kąta i otrzymałem
\(\displaystyle{ \sin(4x) = 0}\) jednak wiem, że po podniesieniu do kwadratu nie powinienem otrzymać to co otrzymałem, ponieważ okazuje się, że rozwiązania równania: \(\displaystyle{ \sin(2x) + \cos(2x) = 1}\) są różne od rozwiązań \(\displaystyle{ \sin(4x)=0}\) Czy ktoś jest mi w stanie wytłumaczyć dlaczego, gdzie robie błąd? Dzięki z góry za odpowiedź.

[mac18]

\(\displaystyle{ x = 3}\)
\(\displaystyle{ x^2 = 9}\)
\(\displaystyle{ x = 3 \vee x = -3}\)

Hmm.. nie lepiej rozpisać to ze wzorów na \(\displaystyle{ sin}\) i \(\displaystyle{ cos}\) podwojonego kąta ?

[Adamcio121]

wiem, że lepiej rozpisać ale nie wiem co jest złego w podnoszeniu tego do kwadratu i potem sprowadzeniu do najprostszej postaci?

[Michalinho]

Przy podnoszeniu do kwadratu wkradają się niepożądane rozwiązania. Lepiej jest zamienić \(\displaystyle{ \cos(2x)}\) na \(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{2}-2x)}\) i skorzystać ze wzoru na sumę sinusów.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin(2x)+\sin(\frac{\pi}{2}-2x)=2\sin(\frac{2x+\frac{\pi}{2}-2x}{2})\cos(\frac{2x-\frac{\pi}{2}+2x}{2})= \\ \sqrt{2}\cos(2x-\frac{\pi}{4})=1 \Leftrightarrow \cos(2x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

.

[Adamcio121]

No i właśnie mnie interesuję dlaczego one się wkradają? Wgl nie rozumiem tego co tam jest źle a chciałbym zrozumieć.

[Michalinho]

Dzieje się tak, że \(\displaystyle{ x=y \Rightarrow x^2=y^2}\), ale nie \(\displaystyle{ x^2=y^2 \Rightarrow x=y}\). Z prawdziwości równości kwadratów wyrażeń nie możemy wnioskować jednoznacznie równości tych wyrażeń. Odwrotnie, tak.

[szachimat]

Zerknij jeszcze tutaj: viewtopic.php?f=135&t=384983

[a4karo]

Podnosząc do kwadratu "dodałeś" również rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sin(2x) + \cos(2x) = -1}\)

[Adamcio121]

dziękuję już rozumiem co jest źle