Równanie tryg.

[Grzyboo]

\(\displaystyle{ \sin^3x + \cos^3x = 1}\)

Doszedłem do wniosku, że to będzie jedynka trygonometryczna, jak to zwykle bywa.
\(\displaystyle{ \sin^3x + \cos^3x = \sin^2x + \cos^2x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2x(\sin{x} - 1) + \cos^2x(\cos{x} - 1) = 0}\)

Ale co dalej?

[Premislav]

Lewa strona jest niedodatnia, a nawet oba składniki po lewej są niedodatnie, bo wartości cosinusa i sinusa nie przekraczają jedynki, a kwadrat sinusa i kwadrat cosinusa są nieujemne.
Czyli oba muszą być zerami:
dostajesz z tego układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^{2}x(\sin x-1)=0 \\ \cos^{2}x(\cos x-1)=0 \end{cases}}\)

[Dilectus]

Popatrzmy:

\(\displaystyle{ \sin^2x(\sin{x} - 1) + \cos^2x(\cos{x} - 1) = 0}\)

Jedno (ale nie jedyne) rozwiązanie jest oczywiste:

\(\displaystyle{ x=0 \vee x= \frac{\pi}{2}}\)

Otwórz program Graph (do ściągnięcia stąd: ), narysuj wykres funkcji

\(\displaystyle{ y=\sin^3x + \cos^3x}\)

i przyjrzyj się mu.

Oblicz okres tej funkcji i znajdź wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ \sin^3x + \cos^3x=1}\).