Równania trygonomeryczne

[Boagcz]

Witam
W jaki sposób rozwiązuje się równania, kiedy \(\displaystyle{ \sin x}\) bądź \(\displaystyle{ \cos x}\) ma wartość ujemną. Przykłady:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \sin ^{2} \frac{x}{2} } = \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
\left| \sin \frac{x}{2} \right| = \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
\sin \frac{x}{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \quad \vee \quad \sin \frac{x}{2} = -\frac{ \sqrt{3}}{2}\\
dla \ \sin \frac{x}{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{\pi}{3} \\
x= \frac{2\pi}{3} + 4k \pi \quad \vee \quad x= \frac{4\pi}{3} + 4k \pi \\}\)

\(\displaystyle{ dla \ \sin \frac{x}{2} = -\frac{ \sqrt{3} }{2} \\
\sin \frac{x}{2} = \sin -\frac{\pi}{3} \\
x= -\frac{2\pi}{3} + 4k \pi \quad \vee \quad x= \frac{8\pi}{3} + 4k \pi}\)

Odpowiedzi ze zbioru:
\(\displaystyle{ x= \frac{2\pi}{3} + 4k \pi \quad \vee \quad x= \frac{4\pi}{3} + 4k \pi \quad \vee \quad x= \frac{8\pi}{3} + 4k \pi \quad \vee \quad x= \frac{10\pi}{3} + 4k \pi}\)


Gdzie popełniam błąd ? A co w sytuacji gdy np. \(\displaystyle{ \cos x= -\frac {1}{2}}\) ? Jak wtedy należy postąpić z równaniem ?

[Premislav]

Witam.
Nigdzie nie robisz błędu i Twoja odpowiedź jest prawidłowa, co więcej, jest równoważna odpowiedzi ze zbioru gdyż:
\(\displaystyle{ \left\{ - \frac{2}{3}\pi +4k\pi: k \in \ZZ\right\}=\left\{ \frac{-2+12}{3}\pi +4k\pi: k \in \ZZ\right\}}\)

[szachimat]

W drugim \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi }{3}}\)