Równanie trygonometryczne

Olka97 · Post autor: **Olka97** » 17 mar 2015, o 19:35

Witam. Mam problem z rozwiązaniem tego równania.

\(\displaystyle{ \sin ^2x-\sin x \cdot \cos x-2\cos ^2x=0}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 mar 2015, o 20:49

\(\displaystyle{ -\sin x \cdot \cos x=-2 \cdot \sin x \cdot \cos x+\sin x \cdot \cos x}\) - może to trochę pomoże

Olka97 · Post autor: **Olka97** » 17 mar 2015, o 21:33

Po przekształceniach wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)(\sin x-2\cos x)=0}\)
Potrafię rozwiązać \(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)=0}\),
ale \(\displaystyle{ (\sin x-2\cos x)=0}\) już nie.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 17 mar 2015, o 21:42

Np dołóż jedynkę trygonometryczną.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 mar 2015, o 21:49

Właśnie i ja w ten sposób dochodzę do tego samego problemu.
Bo jeżeli podzielimy przez cosinus (wcześniej należy założyć, że można, bo \(\displaystyle{ cos x =0}\) nie daje rozwiązań tego równania), to otrzymujemy \(\displaystyle{ tg x =2}\).
I teraz mamy równanie nie należące do tych podstawowych. Pytanie, czy w odpowiedzi użyto kąta z tablic, czy arcusa, czy jest coś sprytniejszego?
piasek101 - co ta jedynka daje? - to nie jest złośliwe pytanie, tylko szczerze sam nie widzę, jak to pociągnąć dalej.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 17 mar 2015, o 21:58

Podałem jeden ze sposobów (nie robiłem) - albo dzielić, albo jedynka - jeśli dzielenie doprowadza do ślepej uliczki to i jedynka do tego samego.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 mar 2015, o 22:02

piasek101 pisze:Podałem jeden ze sposobów (nie robiłem) - albo dzielić, albo jedynka - jeśli dzielenie doprowadza do ślepej uliczki to i jedynka do tego samego.

- rozumiem

Premislav · Post autor: **Premislav** » 17 mar 2015, o 22:29

Rozpatrzmy przypadek \(\displaystyle{ \cos^{2}x=0}\) (czyli \(\displaystyle{ \cos x=0}\), bla bla, sprawdzamy, czy wtedy może zachodzić równość),
a dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ \cos^{2}x\neq 0}\), dzielimy równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\) i dostajemy równanie z tangensem, które można sprowadzić do równania kwadratowego podstawieniem \(\displaystyle{ t=\tg x}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 mar 2015, o 22:56

Premislav pisze:Rozpatrzmy przypadek \(\displaystyle{ \cos^{2}x=0}\) (czyli \(\displaystyle{ \cos x=0}\), bla bla, sprawdzamy, czy wtedy może zachodzić równość),
a dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ \cos^{2}x\neq 0}\), dzielimy równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\) i dostajemy równanie z tangensem, które można sprowadzić do równania kwadratowego podstawieniem \(\displaystyle{ t=\tg x}\)

Czyli potwierdza się to co mamy. Jeden przypadek już jest, a drugi \(\displaystyle{ tg x=2}\) to ten stanowiący problem w zapisie samej odpowiedzi.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 17 mar 2015, o 23:18

Ja problemu nie widzę, można użyć znanej i lubianej funkcji arcus tangens. A że nie dostaniemy "ładnej" postaci -cóż, życie.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 mar 2015, o 23:23

Patrząc na wiek autorki pytania, przypuszczałem, że zadanie musi być ze szkoły średniej, a jego wynik będzie standardowy.