Cześć, mam problem z takim o to zadaniem.
Zadanie.
Wykaż, że \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{9} \cos \frac{2 \pi }{9} \cos \frac{4 \pi }{9} = \frac{1}{8}}\)
Proszę o jakieś wskazówki jak to wgl zacząć robić.
Iloczyn cosinusów
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Iloczyn cosinusów
Chyba mógłbyś szanować innych na tyle, by nie pisać "wgl". Dam Ci taką wskazówkę:
ze wzoru Eulera oraz parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa wynika, że \(\displaystyle{ \cos x= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\) i sobie można podstawić za te cosinusy po lewej, a potem spałować.
A jeśli tego nie lubisz, to można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos \alpha\cos \beta= \frac{1}{2}\left(\cos \left( \alpha+\beta \right) +\cos \left( \alpha-\beta \right) \right)}\), co w sumie na jedno wychodzi.
ze wzoru Eulera oraz parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa wynika, że \(\displaystyle{ \cos x= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\) i sobie można podstawić za te cosinusy po lewej, a potem spałować.
A jeśli tego nie lubisz, to można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos \alpha\cos \beta= \frac{1}{2}\left(\cos \left( \alpha+\beta \right) +\cos \left( \alpha-\beta \right) \right)}\), co w sumie na jedno wychodzi.
Ostatnio zmieniony 15 mar 2015, o 07:30 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Iloczyn cosinusów
Premislav, ehhh...
Najłatwiej będzie tak:
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{1}{8}}\)
Najłatwiej będzie tak:
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}=\frac{1}{8}}\)