wartość najmniejsza i największa funkcji

krotka · Post autor: **krotka** » 12 mar 2015, o 11:40

Mam nadzieję że umieściłam temat w dobrym miejscu. Zadanie polega na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\sin 2x+\cos 2x}\). Mamy tu funkcje trygonometryczne ale zabrałam się za to przekształcając funkcję do postaci kwadratowej korzystając ze wzoru na \(\displaystyle{ \cos 2x}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =2\sin ^{2}x+\sin 2x+1}\).
Następnie zastosowałam podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin 2x}\), \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1,1\right\rangle}\)
Czy w ogóle dobrze się za to zabieram?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 12 mar 2015, o 11:46

krotka pisze:Mam nadzieję że umieściłam temat w dobrym miejscu. Zadanie polega na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin 2x+\cos 2x}\). Mamy tu funkcje trygonometryczne ale zabrałam się za to przekształcając funkcję do postaci kwadratowej korzystając ze wzoru na \(\displaystyle{ \cos 2x}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ f(x)=2\sin ^{2}x+\sin 2x+1}\).
Następnie zastosowałam podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin 2x}\), \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1,1\right\rangle}\)
Czy w ogóle dobrze się za to zabieram?

Zależy co będzie dalej . Zwinięcie trójmianu do postaci kanonicznej może pomóc.

Najszybszy sposób to
\(\displaystyle{ f(x)=\sin 2x+\cos 2x= \sqrt{2} \left(\cos \frac{ \pi }{4} \sin 2x+ \cos 2x \sin \frac{ \pi }{4}\right)= \sqrt{2}\sin (2x+ \frac{ \pi }{4} )}\)

krotka · Post autor: **krotka** » 12 mar 2015, o 12:16

Istotnie, będzie prościej Dziękuję w taki razie temat mógłby zostać przeniesiony do trygonometrii;)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 12 mar 2015, o 12:36

krotka pisze:Mam nadzieję że umieściłam temat w dobrym miejscu. Zadanie polega na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\sin 2x+\cos 2x}\). Mamy tu funkcje trygonometryczne ale zabrałam się za to przekształcając funkcję do postaci kwadratowej korzystając ze wzoru na \(\displaystyle{ \cos 2x}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =2\sin ^{2}x+\sin 2x+1}\).
Następnie zastosowałam podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin 2x}\), \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1,1\right\rangle}\)
Czy w ogóle dobrze się za to zabieram?

Po pierwsze - postać kwadratowa jest trochę inna (coś gubisz).
Po drugie - nie możesz tutaj zrobić podstawienia, bo masz inne argumenty

krotka · Post autor: **krotka** » 12 mar 2015, o 12:41

tylko jeszcze jedna uwaga...zapomniałam dodać, że należy wyznaczyć wartość największą i najmniejszą podanej funkcji w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)...

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 12 mar 2015, o 22:37

krotka, popatrz, jaką największą i najmniejszą wartość przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2}\sin \left( 2x+ \frac{ \pi }{4}\right)}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \ \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)

Weż pod uwagę to, że sinus czegokolwiek zawsze leży w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -1, \ 1\right\rangle}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 mar 2015, o 02:05

Z góry można też szybko ograniczyć dzięki wykorzystaniu jedynki trygonometrycznej i nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną: \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }= \sqrt{ \frac{\sin^{2}2x+\cos^{2}2x}{2} } \ge \frac{\sin 2x+\cos 2x}{2}}\), toteż \(\displaystyle{ \sin 2x+\cos 2x \le \sqrt{2}}\), równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=y= \frac{\pi}{8}}\)
Ale pomysł kerajsa jest fajny.