Dlaczego (cosa - sina) jest ujemne?

[waxta]

Siema.
Mam zadanie, które brzmi: Wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in\left( \frac{ \pi }{2}, \pi \right)}\), oblicz \(\displaystyle{ \cos\alpha - \sin\alpha}\). Wykonałem to zadanie, wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{7}{5}}\) ale w odpowiedziach jest napisane, że powinno być \(\displaystyle{ - \frac{7}{5}}\). Nie wiem, dlaczego ten minus. Domyślam się, że chodzi o ten przedział w treści zadania, oraz że jest to druga ćwiartka (w drugiej ćwiartce jest sinus dodatni, ale tu przecież jest różnica dwóch funkcji trygonometrycznych). Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?

[gryxon]

Zakładam, że doszłaś do tego że: \(\displaystyle{ (\cos{\alpha}-\sin{ \alpha })^2=\frac{49}{25}}\)

Wynik wyrażenia \(\displaystyle{ \cos{\alpha}-\sin{ \alpha }}\) może się równać \(\displaystyle{ \pm \frac{7}{5}}\)

Ale jak słusznie zauważyłaś \(\displaystyle{ \sin{\alpha} \ge 0 \ \wedge \ \cos\alpha} \le 0}\)

Więc wyrażenie: \(\displaystyle{ \cos{\alpha}-\sin{\alpha}\le0}\)