przekształcenie wzoru przez powinowactwo

[madmathman]

Przekształcić wzór funkcji \(\displaystyle{ y=\arcctg x}\) przez powinowactwo, tak aby zbiór wartości nowej funkcji był przedziałem \(\displaystyle{ (1,4)}\).

[szw1710]

Napisz wzór funkcji liniowej przekształcającej przedział \(\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)}\) na \(\displaystyle{ (1,4)}\). Zwyczajne równanie prostej. Narysuj sobie prostokąt o wskazanych bokach i zaznacz jego przekątną.

[madmathman]

Tu raczej nie chodzi o coś takiego. Myślałem nad tym aby najpierw przesunąć wykres \(\displaystyle{ y=\arcctg x}\) o wektor a potem przeskalować wykres względem osi \(\displaystyle{ Y}\).

-- 4 mar 2015, o 10:44 --

Wystarczy aby \(\displaystyle{ 1<k\cdot\arcctg x +b<4}\) i rozwiązać odpowiedni układ równań pamiętając, że \(\displaystyle{ 0<\arcctg x<\pi}\)

[szw1710]

Jak najbardziej o to chodzi. Przemnożenie przez odpowiednią liczbę nada zbiorowi wartości długość \(\displaystyle{ 3}\), a dodanie stałej przesunie ten przedział w odpowiednie położenie.

[madmathman]

Nie rozumiem stwierdzenia "Przemnożenie przez odpowiednią liczbę nada zbiorowi wartości długość \(\displaystyle{ 3}\)". Jak zbiorowi można nadać wartość? A jeżeli już byśmy się dogadali w tej kwestii to nie mogę zgodzić się z przedłużeniem rozwiązania poprzez dodanie funkcji stałej. Nie jest to możliwe w przedziale otwartym biorąc pod uwagę to że chodzi o powinowactwo, czyli "rozciągnięcie". Po rozwiązaniu układu równań o którym pisałem dostałem funkcję z przesunięciem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3}{\pi}arc ctg (x)+1}\) taką, że \(\displaystyle{ f(\mathbb{R})=(1,4)}\). Żadna funkcja liniowa nie może być obrazem powinowactwa funkcji \(\displaystyle{ \arc ctg x}\)

[szw1710]

Dokładnie o to chodzi. Bierzemy funkcję \(\displaystyle{ g(x)=\frac{3}{\pi}x+\frac{5}{2}}\). Wtedy funkcja \(\displaystyle{ h(x)=g(\arctg x)}\) daje nam szukane przekształcenie. Za bardzo się najeżasz. Zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest tą, o którą pytałem.

To jest powinowactwo, działa tylko na drugą współrzędną. Kwestia, względem jakiej osi. W każdym razie jest powinowactwem, bo zmienia wymiar pionowy w tej samej skali. Możesz spróbować znaleźć tę oś. Na pewno nie jest ją oś \(\displaystyle{ x}\). Skorzystaj z definicji powinowactwa.

[madmathman]

Najeżyłem się, to fakt, bo nie mówiłeś wcześniej o składaniu funkcji a w dodatku pisałeś coś co nie przypominało powyższego. Teraz to jest jasne biorąc poprawkę na to, że nie pytałem o \(\displaystyle{ \arc tg(x)}\). ale to nic Pozdrawiam i nie bierz do siebie moich najeżeń. Pozostało mi to od promotora

[szw1710]

Ja to widzę geometrycznie. Skoro mam zmienić zbiór wartości, najprościej robi to funkcja liniowa.