Obliczanie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych

[rawel]

Zadanie:
Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jeżeli \(\displaystyle{ \sin = \frac{1}{2}}\)
Obliczając to wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha = \frac{3}{4}\\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{3}{4} }}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3}{4} } }{ \frac{3}{4} }}\)

Gdzie popełniłem błąd ?

[Premislav]

A co będzie, jeśli np. \(\displaystyle{ \alpha=150^{\circ}}\)?

[chris_f]

Trochę nieprecyzyjnie sformułowane warunki zadania, ale zakładam, ze chodzi tylko o kąty z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)}\).
No i popatrz na swoje rachunki. Dlaczego uważasz, że popełniasz błąd?
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3}{4} } }{ \frac{3}{4} }=
\frac{\frac12\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac34}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

[rawel]

Zapomniałem dodać, że \(\displaystyle{ \alpha \in [0 ^{\circ} ,90^{\circ}]}\)

Dziwnie wyglądał mi ten wynik. Zapomniałem o skróceniu. Bardzo dziękuje.
Mam jeszcze problem z przykładem gdzie \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{12}{5}}\)
Po zrobieniu równania wyszło mi takie coś:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha = \frac{12}{5} \cos \alpha \\ \frac{169}{25} \cos^{2} \alpha = 1 \end{cases}}\)

Po skróceniu tego wszystkiego wyszło mi, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{12}{5}}\)
Tutaj na pewno popełniłem gdzieś błąd. Dodam jeszcze jak wyglądał początek mojego równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \\ 5\sin \alpha = 12 \cos \alpha \end{cases}}\)

[Premislav]

Czy przy tym przykładzie też masz jakieś założenia odnośnie kątów?
Ogólnie to dla \(\displaystyle{ \alpha}\) różnych od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k\pi}\) (dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)) jest \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{\sin \alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha} = \frac{ \frac{\sin \alpha}{\cos^{2}\alpha} }{1+\tg^{2}\alpha}= \frac{1}{\cos \alpha} \frac{\tg \alpha}{1+\tg^{2}\alpha}}\)
Zaś \(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{\cos \alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}= \frac{1}{\cos \alpha} \frac{1}{1+\tg^{2}\alpha}}\) - z tego drugiego wyznaczysz kwadrat cosinusa, mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ \cos x}\), zaś po wyliczeniu cosinusa (dwie możliwości) podstawiasz za tangens, który masz dany, i za wyliczoną wartość cosinusa, po czym ew. upraszczasz.

[szachimat]

Możesz również przeanalizować post na stronie: 384244.htm

[piasek101]

Dla kątów ostrych rób z trójkąta prostokątnego.

[rawel]

Czy przy tym przykładzie też masz jakieś założenia odnośnie kątów?
Ogólnie to dla \(\displaystyle{ \alpha}\) różnych od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k\pi}\) (dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)) jest \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{\sin \alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha} = \frac{ \frac{\sin \alpha}{\cos^{2}\alpha} }{1+\tg^{2}\alpha}= \frac{1}{\cos \alpha} \frac{\tg \alpha}{1+\tg^{2}\alpha}}\)
Zaś \(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{\cos \alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}= \frac{1}{\cos \alpha} \frac{1}{1+\tg^{2}\alpha}}\) - z tego drugiego wyznaczysz kwadrat cosinusa, mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ \cos x}\), zaś po wyliczeniu cosinusa (dwie możliwości) podstawiasz za tangens, który masz dany, i za wyliczoną wartość cosinusa, po czym ew. upraszczasz.

Tutaj również: \(\displaystyle{ \alpha \in [0 ^{\circ} ,90^{\circ}]}\)

Szczerze mówiąc troche mnie zabiłeś tym

Możesz również przeanalizować post na stronie: 384244.htm

Tym sposobem jak dla mnie jest łatwiej. Ale nadal nie wiem czy wynik wyszedł mi dobry.

Czy w tym momencie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{144}{25} b^{2} + b^{2} = 1 \\ a= \frac{12}{5} b \end{cases}}\)

mam zamienić \(\displaystyle{ b^{2}}\) i \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ \frac{25}{25}}\) ?

[szachimat]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{144}{25} b^{2} + \frac{25}{25} b^{2} = 1 \\ a= \frac{12}{5} b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{169}{25} b^{2} = 1 \\ a= \frac{12}{5} b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \f b^{2} = \frac{25}{169} \\ a= \frac{12}{5} b \end{cases}}\)

I ponieważ jest to cosinus kąta z drugiej ćwiartki bierzemy \(\displaystyle{ b=cos \alpha =- \frac{5}{13}}\)