Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
grazyna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 16 lis 2013, o 18:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: grazyna »

\(\displaystyle{ \sin ^{14}x + \cos ^{14}x = \sin ^2x+\cos ^2x}\)

Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 28 lut 2015, o 10:12 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: bartek118 »

Prawą stronę zamień z jedynki trygonometrycznej; lewą rozłóż na czynniki; wykorzystaj rozkład:
\(\displaystyle{ x^{14} + y^{14} = (x^2+y^2) (x^{12}-x^{10} y^2+x^8 y^4-x^6 y^6+x^4 y^8-x^2 y^{10}+y^{12})}\)
Wydaje mi się, że powinno to pomóc.

-- 28 lut 2015, o 10:15 --

Mam jeszcze inny pomysł:
\(\displaystyle{ \sin ^{14}x + \cos ^{14}x = 1 \\
\sin^{14}x + (1 - \sin^2 x)^7 - 1 = 0}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ t = \sin^2 x}\) otrzymamy wielomian
\(\displaystyle{ t^7 + (1-t)^7 - 1 = 0}\)
I problem sprowadza się do znalezienia jego wszystkich pierwiastków w odcinku \(\displaystyle{ [0, 1]}\).-- 28 lut 2015, o 10:17 --Po jego rozłożeniu otrzymamy wielomian:
\(\displaystyle{ 7 (t-1) t (t^2 - t + 1)^2 = 0}\)
Czyli jedyne rzeczywiste pierwiastki to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Zatem pozostaje do rozwiązania jedynie:
\(\displaystyle{ \sin^2 x = 0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin^2 x = 1}\)
ODPOWIEDZ