Równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Równanie trygonometryczne
Cześć,
Mam problem z tym zadaniem:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x-4,5\sin x=3}\)
Wydaje mi się że teraz powinienem zapisać \(\displaystyle{ \cos x=\sin \left( \frac{ \pi }{2}-x \right)}\) i skorzystać, ze wzoru na sumę sinusów, jednak cosinus(przekształcony na sinusa) jest podniesiony do potęgi, a przed sinusem stoi \(\displaystyle{ 4,5}\), czy w takim wypadku mogę skorzystać, z tego wzoru?
Jeśli nie, to jakie mam inne opcje?
Mam problem z tym zadaniem:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x-4,5\sin x=3}\)
Wydaje mi się że teraz powinienem zapisać \(\displaystyle{ \cos x=\sin \left( \frac{ \pi }{2}-x \right)}\) i skorzystać, ze wzoru na sumę sinusów, jednak cosinus(przekształcony na sinusa) jest podniesiony do potęgi, a przed sinusem stoi \(\displaystyle{ 4,5}\), czy w takim wypadku mogę skorzystać, z tego wzoru?
Jeśli nie, to jakie mam inne opcje?
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 11:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Równanie trygonometryczne
Dzięki za pomoc, udało się wyliczyć .
Mam jeszcze takie ogólne pytanie: jak mam np. \(\displaystyle{ \cos (x) + 12\cos (x+ \pi )}\) To czy mogę wykonać działanie polegające na dodawaniu cosinusów za pomocą wzoru? Jeśli tak, to co należy zrobić z tą 12 (czy jakąkolwiek inna liczbą), która stoi przed funkcją?
Mam jeszcze takie ogólne pytanie: jak mam np. \(\displaystyle{ \cos (x) + 12\cos (x+ \pi )}\) To czy mogę wykonać działanie polegające na dodawaniu cosinusów za pomocą wzoru? Jeśli tak, to co należy zrobić z tą 12 (czy jakąkolwiek inna liczbą), która stoi przed funkcją?
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 11:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Równanie trygonometryczne
Zrobi się \(\displaystyle{ \cos \pi =-1}\), \(\displaystyle{ \sin \pi =0}\), ale lepiej zastosować gotowy wzór redukcyjny \(\displaystyle{ \cos ( \pi +x)=-\sin x}\)
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 11:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Równanie trygonometryczne
Hm, może podałem zły przykład.
Bardziej niż o korzystanie ze wzorów redukcyjnych chodziło mi o to co robimy z liczbami które stoją przed funkcjami trygonometrycznymi, gdy stosujemy wzory na sumę, różnicę, lub iloczyn.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ 2\sin(x+y)+3\sin(x-y)=12\sin(x)\cos(-y)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos( \alpha + \beta ) = 4[\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ]}\)
Czy to ma wyglądać w ten sposób?
Bardziej niż o korzystanie ze wzorów redukcyjnych chodziło mi o to co robimy z liczbami które stoją przed funkcjami trygonometrycznymi, gdy stosujemy wzory na sumę, różnicę, lub iloczyn.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ 2\sin(x+y)+3\sin(x-y)=12\sin(x)\cos(-y)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos( \alpha + \beta ) = 4[\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ]}\)
Czy to ma wyglądać w ten sposób?
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Równanie trygonometryczne
Prawie każdy przykład wymaga indywidualnego podejścia. Uniwersalnej metody, jak widzisz nie ma. Raz stosujemy wzory redukcyjne, innym razem coś innego.
Drugi z podanych wyżej jest dobry, a w pierwszym jest jakaś nieprawda.
Drugi z podanych wyżej jest dobry, a w pierwszym jest jakaś nieprawda.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Równanie trygonometryczne
W takim wypadku, pojawia się pytanie co należało zrobić w pierwszym przykładzie.
Wiadomo, że czasem można obejść stosowanie wzorów na sumy, iloczyny itd. i zastąpić to jednym wzorem redukcyjnym, ale w pierwszym przykładzie powyżej raczej nie jest to możliwe i pytanie jest co robimy z liczbami, które stoją przed funkcjami gdy stosujemy wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)
Wiadomo, że czasem można obejść stosowanie wzorów na sumy, iloczyny itd. i zastąpić to jednym wzorem redukcyjnym, ale w pierwszym przykładzie powyżej raczej nie jest to możliwe i pytanie jest co robimy z liczbami, które stoją przed funkcjami gdy stosujemy wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Równanie trygonometryczne
Kurczę. Nie bardzo rozumiem o co ci chodzi. Może gdyby był konkretny przykład.
Jeżeli jest równanie i po prawej stronie zero, to dzielimy stronami i te liczby znikają. Jeżeli jest funkcja, to nie możemy zrobić nic poza przekształceniami jednych wzorów na inne.
Czasem równania są tak skonstruowane, że coś trzeba samemu dołożyć (np. dzieląc stronami):
Przykład
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cdot \cos x+\sin x= \sqrt{2}}\) - dzielę stronami przez 2
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\cos x+ \frac{1}{2} \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{3}\cos x+\cos \frac{ \pi }{3} \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{3}+x \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Ale zawsze pozostaje kwestia wpadnięcia na dany pomysł, a tu już potrzebna intuicja.
Jeżeli jest równanie i po prawej stronie zero, to dzielimy stronami i te liczby znikają. Jeżeli jest funkcja, to nie możemy zrobić nic poza przekształceniami jednych wzorów na inne.
Czasem równania są tak skonstruowane, że coś trzeba samemu dołożyć (np. dzieląc stronami):
Przykład
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cdot \cos x+\sin x= \sqrt{2}}\) - dzielę stronami przez 2
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\cos x+ \frac{1}{2} \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{3}\cos x+\cos \frac{ \pi }{3} \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{3}+x \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Ale zawsze pozostaje kwestia wpadnięcia na dany pomysł, a tu już potrzebna intuicja.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 18:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Skaluj nawiasy. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Równanie trygonometryczne
Pokażę co mam dokładnie na myśli:
Mam takie równanie: \(\displaystyle{ 2\sin(x+y)+3\sin(x-y)=...}\) i zastanawiam się czy mogę teraz zastosować (a jeśli tak, to w jaki sposób) wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)?
Gdyby przed obiema funkcjami nic nie było, albo były te same liczby to zastosowanie wzoru byłoby oczywiste, ale zastanawia mnie taka przykładowa sytuacja w której przed jednym sinusem stoi 3, a przed drugim 2.
Mam takie równanie: \(\displaystyle{ 2\sin(x+y)+3\sin(x-y)=...}\) i zastanawiam się czy mogę teraz zastosować (a jeśli tak, to w jaki sposób) wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)?
Gdyby przed obiema funkcjami nic nie było, albo były te same liczby to zastosowanie wzoru byłoby oczywiste, ale zastanawia mnie taka przykładowa sytuacja w której przed jednym sinusem stoi 3, a przed drugim 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Równanie trygonometryczne
Tej "2" i "3" nie można się pozbyć, chyba że prawa strona tego równania coś sensownego "podpowie".
Ale na pewno po lewej stronie nie da się tego wzoru zastosować.
Ale na pewno po lewej stronie nie da się tego wzoru zastosować.