Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 27 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: isio05 »

Cześć,

Mam problem z tym zadaniem:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x-4,5\sin x=3}\)
Wydaje mi się że teraz powinienem zapisać \(\displaystyle{ \cos x=\sin \left( \frac{ \pi }{2}-x \right)}\) i skorzystać, ze wzoru na sumę sinusów, jednak cosinus(przekształcony na sinusa) jest podniesiony do potęgi, a przed sinusem stoi \(\displaystyle{ 4,5}\), czy w takim wypadku mogę skorzystać, z tego wzoru?
Jeśli nie, to jakie mam inne opcje?
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 11:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: szachimat »

cosinusa zamień na sinusa z jedynki trygonometrycznej, następnie podstaw za sinusa "t" i oblicz deltę i pierwiastki
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 27 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: isio05 »

Dzięki za pomoc, udało się wyliczyć .

Mam jeszcze takie ogólne pytanie: jak mam np. \(\displaystyle{ \cos (x) + 12\cos (x+ \pi )}\) To czy mogę wykonać działanie polegające na dodawaniu cosinusów za pomocą wzoru? Jeśli tak, to co należy zrobić z tą 12 (czy jakąkolwiek inna liczbą), która stoi przed funkcją?
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 11:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: szachimat »

Zrobi się \(\displaystyle{ \cos \pi =-1}\), \(\displaystyle{ \sin \pi =0}\), ale lepiej zastosować gotowy wzór redukcyjny \(\displaystyle{ \cos ( \pi +x)=-\sin x}\)
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 11:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 27 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: isio05 »

Hm, może podałem zły przykład.
Bardziej niż o korzystanie ze wzorów redukcyjnych chodziło mi o to co robimy z liczbami które stoją przed funkcjami trygonometrycznymi, gdy stosujemy wzory na sumę, różnicę, lub iloczyn.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ 2\sin(x+y)+3\sin(x-y)=12\sin(x)\cos(-y)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos( \alpha + \beta ) = 4[\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ]}\)
Czy to ma wyglądać w ten sposób?
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: szachimat »

Prawie każdy przykład wymaga indywidualnego podejścia. Uniwersalnej metody, jak widzisz nie ma. Raz stosujemy wzory redukcyjne, innym razem coś innego.
Drugi z podanych wyżej jest dobry, a w pierwszym jest jakaś nieprawda.
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 27 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: isio05 »

W takim wypadku, pojawia się pytanie co należało zrobić w pierwszym przykładzie.
Wiadomo, że czasem można obejść stosowanie wzorów na sumy, iloczyny itd. i zastąpić to jednym wzorem redukcyjnym, ale w pierwszym przykładzie powyżej raczej nie jest to możliwe i pytanie jest co robimy z liczbami, które stoją przed funkcjami gdy stosujemy wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: szachimat »

Kurczę. Nie bardzo rozumiem o co ci chodzi. Może gdyby był konkretny przykład.
Jeżeli jest równanie i po prawej stronie zero, to dzielimy stronami i te liczby znikają. Jeżeli jest funkcja, to nie możemy zrobić nic poza przekształceniami jednych wzorów na inne.

Czasem równania są tak skonstruowane, że coś trzeba samemu dołożyć (np. dzieląc stronami):
Przykład
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cdot \cos x+\sin x= \sqrt{2}}\) - dzielę stronami przez 2
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\cos x+ \frac{1}{2} \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{3}\cos x+\cos \frac{ \pi }{3} \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{3}+x \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Ale zawsze pozostaje kwestia wpadnięcia na dany pomysł, a tu już potrzebna intuicja.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2015, o 18:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 27 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: isio05 »

Pokażę co mam dokładnie na myśli:
Mam takie równanie: \(\displaystyle{ 2\sin(x+y)+3\sin(x-y)=...}\) i zastanawiam się czy mogę teraz zastosować (a jeśli tak, to w jaki sposób) wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)?
Gdyby przed obiema funkcjami nic nie było, albo były te same liczby to zastosowanie wzoru byłoby oczywiste, ale zastanawia mnie taka przykładowa sytuacja w której przed jednym sinusem stoi 3, a przed drugim 2.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: szachimat »

Tej "2" i "3" nie można się pozbyć, chyba że prawa strona tego równania coś sensownego "podpowie".
Ale na pewno po lewej stronie nie da się tego wzoru zastosować.
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 27 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: isio05 »

Właśnie o to mi chodziło, dzięki za wytłumaczenie.
ODPOWIEDZ