Równanie trygonometryczne

[2kristof2]

\(\displaystyle{ \sin x + \sin \frac{ \pi }{6} = \sin (x + \frac{ \pi }{6})}\)

Żeby nie było 3 razy podchodziłem do tego zadania, próbując różnych sposobów. Jak widać trygonometria nie jest moją mocną stroną...

Odp.\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{6} + 2k \pi \vee x + 2k \pi , k \in C}\)

[mortan517]

Rozpisz prawą stronę ze wzoru na sinus sumy.

[2kristof2]

Tak też robiłem za każdym razem. Tak to wygląda po podstawieniu i uproszczeniu niektórych sinusów/cosinusów:

\(\displaystyle{ \sin x + \frac{1}{2} = \sin x \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}\cos x \\
2\sin x + 1 = \sqrt{3}\sin x + \frac{1}{2}\cos x \\
\sin x \left( 2- \sqrt{3} \right) + 1 = \sqrt{1-\sin ^2 x}}\)

Potem podnosiłem do kwadratu i próbowałem to jakoś uprościć lub obliczyć delte podstawiając za sinx niewiadomą x.

[mortan517]

A, źle ci podpowiedziałem. Po lewej stronie zrób sumę sinusów, a po prawej rozpisz, ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

[2kristof2]

\(\displaystyle{ L = 2sin \frac{x+ \frac{ \pi }{6} }{2} cos \frac{x- \frac{ \pi }{6} }{2}}\)

Natomiast prawą stronę nie wiem jak przekształcić na sinus podwojonego kąta

[mortan517]

Lewa jest w porządku, a prawą tak:

\(\displaystyle{ \sin \left( 2\left( \frac{x + \frac{\pi}{6}}{2} \right) \right)}\)

[2kristof2]

Czyli:

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x+ \frac{ \pi }{6} }{2} \cos \frac{x- \frac{ \pi }{6} }{2} = 2\sin \frac{x+ \frac{ \pi }{6} }{2}\cos \frac{x + \frac{ \pi }{6} }{2}}\)

?

[mortan517]

Tak

[2kristof2]

Co powinienem dalej zrobić jak mam:
\(\displaystyle{ \cos \frac{x- \frac{ \pi }{6} }{2}=\cos \frac{x+ \frac{ \pi }{6} }{2}}\)

[mortan517]

Straciłeś właśnie jedno rozwiązanie dzieląc. Nie możesz tak zrobić. Przerzuć wszystko na jedną stronę i wyciągnij przed nawias.

Jak już to zrobisz to wtedy różnica kosinusów.

[2kristof2]

hmm wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin \frac{x+ \frac{ \pi }{6} }{2} \left( -2\sin \frac{x}{2} \sin \frac{- \pi }{12} \right) =0}\)

[mortan517]

Wszystko ok. Teraz zastanów się nad rozwiązaniem tego równania.

[szachimat]

Tak też robiłem za każdym razem. Tak to wygląda po podstawieniu i uproszczeniu niektórych sinusów/cosinusów:

\(\displaystyle{ sinx + \frac{1}{2} = sinx \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}cosx}\)
\(\displaystyle{ 2sinx + 1 = \sqrt{3}sinx + \frac{1}{2}cosx}\)
\(\displaystyle{ sinx(2- \sqrt{3}) + 1 = \sqrt{1-sin^2 x}}\)

Potem podnosiłem do kwadratu i próbowałem to jakoś uprościć lub obliczyć delte podstawiając za sinx niewiadomą x.

Ponieważ to równanie jest już prawie rozwiązane, to wtrącę się w innej kwestii, która może ci się przydać w innych przykładach. Otóż podnoszenie równania stronami do kwadratu jest czynnością ryzykowną, ponieważ może pojawić się tzw. "pierwiastek obcy". Prostym przykładem na to niech będzie równanie \(\displaystyle{ x-1=5}\). Już w pamięci widzimy, że pierwiastkiem tego równania jest liczba 6. Natomiast gdybyśmy podnieśli stronami do kwadratu, mielibyśmy:
\(\displaystyle{ x^2-2x+1=25}\)
\(\displaystyle{ x^2-2x-24=0}\)
\(\displaystyle{ (x-6)(x+4)=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ x _{1}=6}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-4}\) - pierwiastek obcy

Podobnie, pierwiastkowanie stronami, czy dzielenie stronami przez wyrażenie zawierające zmienną (co przed chwilą błędnie uczyniłeś), są to operacje, na które trzeba bardzo uważać, bo coś się może zepsuć.

[2kristof2]

@mortan517

\(\displaystyle{ \sin \frac{x+ \frac{ \pi }{6} }{2}=0 \vee \sin \frac{x}{2}=0 \vee \sin \frac{- \pi }{12}=0}\)

Pytanie jak to obliczyć :c
Głównie ten sinus nie wiem jak ruszyć.

@szahimat dzięki za uwagę, ogólnie na to uważam, a że trygonometria jest moją słabszą stroną to zapominam, że przy tej czynności trzeba zakładać, że \(\displaystyle{ \sin x>0}\).

[mortan517]

No właśnie lepiej korzystać z wzorów na sumę, różnicę itd. niż podnosić do kwadratu i dokładać sobie założeń.

A jakbyś miał \(\displaystyle{ \sin t=0}\) to jak byś to rozwiązał?