Równanie trygonometryczne

[lukaszml]

Witam, mam pewnien problem z następującym zadaniem,

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin 2x + \sin^{2} x = \cos x + \sin x}\)

Rozwiązuje je następująco,

przy czym wiem że \(\displaystyle{ \sin 2x = 2\sin x \cdot \cos x}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} 2\sin x \cdot \cos x + \sin^{2} x = \cos x + \sin x}\) //skracam
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x + \sin^{2} x = \cos x + \sin x}\) // sin przed nawias
\(\displaystyle{ \sin x (\cos x + \sin x) = \cos x + \sin x}\) // dziele przez: \(\displaystyle{ (\cos x + \sin x)}\)
\(\displaystyle{ \sin x = 1}\)

Więc \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi, k \in C}\)

Zaś w odpowiedziach mam

\(\displaystyle{ x = \frac{3 \pi }{4}+k \pi \vee x = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi, k \in C}\)


Nie wiem skąd się wzięło nagle \(\displaystyle{ x = \frac{3 \pi }{4}+k \pi}\)


Tak przypuszczałem sobie lecz za bardzo nie wiele z tego wynika
mamy \(\displaystyle{ k \pi}\) więc to musi być \(\displaystyle{ tg}\) lub \(\displaystyle{ ctg}\)

jeżeli \(\displaystyle{ \sin x (\cos x + \sin x)}\), rozdziele na

\(\displaystyle{ \sin x = 0 \wedge \cos x + \sin x = 0}\)

to, kolejno

\(\displaystyle{ \sin x = 0 \wedge \cos x = -\sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin x = 0 \wedge \frac{\cos x}{\sin x} = -1}\)

\(\displaystyle{ \sin x = 0 \wedge \ctg x = -1}\)

To zauważyłem lecz za bardzo nie potrafię tego gdzieś podpiąć żeby to miało sens.

[Kacperdev]

Dzielenie przez \(\displaystyle{ (\cos x + \sin x)}\) jest bezprawne. Skąd wiesz, że tam nie ma zera i nie tracisz przez to rozwiązania? Należy wziąc wszystko na jedną stronę i zapisać w postaci iloczynowej.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin 2x + \sin^{2} x = \cos x + \sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin x\left( \cos x+\sin x\right) = \cos x + \sin x}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos x+\sin x\right)\left( \sin x -1\right)=0}\)

Dalej dasz radę sam?

[lukaszml]

Hmm, ale tutaj wychodzą 3 roziązania bo ja to widze tak,
\(\displaystyle{ \cos x+\sin x = 0 \wedge \sin x -1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x = -\sin x \wedge \sin x = -\cos x \wedge \sin x = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin x} = -1 \wedge \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \wedge \sin x = 1}\)

\(\displaystyle{ \ctg = -1 \wedge \tg = -1 \wedge \sin x = 1}\)

Czy tutaj również nie mogę dzielić przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) ?
Jak tak to jak mogę wyprowadzić rozwiązanie z

\(\displaystyle{ (\cos x+\sin x)}\)

[szachimat]

Przecież:
\(\displaystyle{ \cos x = -\sin x \wedge \sin x = -\cos x}\) - jest to to samo równanie

[piasek101]

Nie ,,i" a ,,lub" w pierwszej linijce. Dalej już nie masz poprawnie.

Przez sinusa możesz dzielić jeśli wcześniej sprawdzisz, że gdyby był zerem to równanie nie będzie miało rozwiązań (czyli sinus jest różny od zera).

[szachimat]

Nie ,,i" a ,,lub" w pierwszej linijce. Dalej już nie masz poprawnie.

Przez sinusa możesz dzielić jeśli wcześniej sprawdzisz, że gdyby był zerem to równanie nie będzie miało rozwiązań (czyli sinus jest różny od zera).

Ale w innych przykładach bez sprawdzenia, czy bez pewności, że dane wyrażenie jest zawsze różne od zera: Nigdy nie należy dzielić przez wyrażenie zawierające zmienną.

[piasek101]

Nigdy nie należy dzielić przez wyrażenie zawierające zmienną.

Nigdy się z Tobą nie zgodzę.

Właśnie w tym przykładzie podzielę np przez sinusa (bo niezerowy jest; dla zerowego równanie nie jest spełnione) i rozwiążę otrzymane z cotangensem. Lub podzielę przez cosinusa - (analogicznie).

[Jan Kraszewski]

Myślę, że Was pogodzę:

Nigdy nie należy bezrefleksyjnie dzielić przez wyrażenie zawierające zmienną.

JK

[szachimat]

piasek101 przeczytaj dokładnie to co napisałem, a dopiero później komentuj.
Jan Kraszewski - nie cytuje się części całego zdania zmieniając tym cytatem jego sens jak to czyni piasek101 (ale dziękuję, za wtrącenie się i zauważenie nieścisłości).

[piasek101]

Napisałeś ,,Nigdy" (dwukropek uznałem za literówkę) - więc przyjąłem to za zdanie - jak najbardziej nieprawdziwe.

[szachimat]

Napisałeś ,,Nigdy" (dwukropek uznałem za literówkę) - więc przyjąłem to za zdanie - jak najbardziej nieprawdziwe.

To popraw sobie dwukropek na przecinek, pogrubienia słowa "Nigdy" nie rób i dużą literę "N" zmień na małą i wtedy zacytuj całość, a od siebie możesz dodać to co wcześniej: "Nigdy się z Tobą nie zgodzę."

[Jan Kraszewski]

Dobrze, myślę, że sprawa jest wyjaśniona. Wracamy do tematu wątku, dalszą dyskusję o cytowaniu tocząc ew. przez PW.

JK

[a4karo]

Hmm, ale tutaj wychodzą 3 roziązania bo ja to widze tak,
\(\displaystyle{ \cos x+\sin x = 0 \wedge \sin x -1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x = -\sin x \wedge \sin x = -\cos x \wedge \sin x = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin x} = -1 \wedge \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \wedge \sin x = 1}\)

\(\displaystyle{ \ctg = -1 \wedge \tg = -1 \wedge \sin x = 1}\)

Czy tutaj również nie mogę dzielić przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) ?
Jak tak to jak mogę wyprowadzić rozwiązanie z

\(\displaystyle{ (\cos x+\sin x)}\)

Masz tu do wyboru przynajmniej trzy drogi:
1. mozesz zauważyć, że jeżeli \(\displaystyle{ \sin x=0}\) to na pewno \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\neq 0}\) (to wynika z jedynki trygonometrycznej), a zatem to uzasadnia dzielenie przez \(\displaystyle{ 0}\)
2. możesz znależć wzór wyrażający \(\displaystyle{ \sin x+\cos x}\) jako iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych.
3. możesz spróbować rozwiązac tę częśc równania graficznie.

[AndrzejK]

Albo można skorzystać z faktu, że np. \(\displaystyle{ \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})}\).

A więc mamy: \(\displaystyle{ \sin(x+\frac{\pi}{2})+ \sin x = 0}\). A to już przyjazna forma, bo można skorzystać ze wzoru na sumę sinusów. Dostajemy chyba wtedy ten wzór, o którym mówi a4karo.