Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
lukaszml
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 wrz 2014, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O09H
Podziękował: 6 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: lukaszml »

Hmm, sprawa się pokomplikowała, próbowałem paroma sposobami które Wypisaliście lecz poprawny wynik mi nie wyszedł .
a4karo pisze:1. mozesz zauważyć, że jeżeli \(\displaystyle{ \sin x=0}\) to na pewno \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\neq 0}\) (to wynika z jedynki trygonometrycznej), a zatem to uzasadnia dzielenie przez \(\displaystyle{ 0}\)
Okej, czyli mając uzasadnienie dzielenia przez 0 w tym przypadku to co napisał a4karo, lub rozłamując \(\displaystyle{ \sin x+\cos x = 0 \vee \sin x -1 = 0}\)

otrzymujemy dowód,
\(\displaystyle{ \sin x -1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1}\)

Więc postępuje następująco,

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x + \cos x}{\cos x} = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} = -1}\)

\(\displaystyle{ \tg x= -1}\)

\(\displaystyle{ x= -\frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

lecz to nie zgadza się z odpowiedzią.

AndrzejK pisze:Albo można skorzystać z faktu, że np.\(\displaystyle{ \cos x=\sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right) = 0}\)

suma trygonometryczna

\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{ x + \left( x + \frac{\pi}{2} \right) }{2}\right) \cdot \cos \left( \frac{ x - \left( x + \frac{\pi}{2} \right) }{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{ x + x + \frac{\pi}{2} }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ x - x - \frac{\pi}{2} }{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\)

I tutaj nie wiem co dalej zrobić, pomyślałem o \(\displaystyle{ \arccos \frac{\pi}{4}}\) lecz wychodzą brzydkie liczby.



Spróbowałem też coś takiego.

Mając \(\displaystyle{ \sin x+\cos x = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x = 1}\)

\(\displaystyle{ 1+\cos x = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x = -1}\)

\(\displaystyle{ x = \pi}\)
Wyszła abstrakcja ale chyba dlatego że w tym przypadku za bardzo popłynąłem


We wszystkich przypadkach robię pewnie jakiś głupi błąd, ale najgorsze jest to ze go nie widzę
Ostatnio zmieniony 22 lut 2015, o 19:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skaluj nawiasy. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: AndrzejK »

lukaszml pisze: \(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{ x + x + \frac{\pi}{2} }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ x - x - \frac{\pi}{2} }{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\)
W tym przejściu jest błąd, coś ty zrobił z tą dwójką? Powinno być tak:

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{ 2x + \frac{\pi}{2} }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\)

czyli
\(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\).

Wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\), więc możesz podstawić liczbę i działać dalej. Chyba już sobie poradzisz.
lukaszml
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 wrz 2014, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O09H
Podziękował: 6 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: lukaszml »

Racja, tutaj mój błąd.
Też zauważyłem że mamy cosinusa ale wychodzą nam brzydkie liczby których nie podstawie jest to 0.667....
lukaszml pisze:I tutaj nie wiem co dalej zrobić, pomyślałem o \(\displaystyle{ \arccos \frac{\pi}{4}}\) lecz wychodzą brzydkie liczby.
a wynik jest określony więc to mnie właśnie przystopowało

Spróbowałem i... prawie wyszło z tym że wynik to \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{4} + 2k \pi}\)
AndrzejK pisze:
lukaszml pisze: \(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{ x + x + \frac{\pi}{2} }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ x - x - \frac{\pi}{2} }{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\)
W tym przejściu jest błąd, coś ty zrobił z tą dwójką? Powinno być tak:

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{ 2x + \frac{\pi}{2} }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\)

czyli
\(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\).

Wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\), więc możesz podstawić liczbę i działać dalej. Chyba już sobie poradzisz.
Dlaczego \(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\)

a nie

\(\displaystyle{ 2\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}\).
Ostatnio zmieniony 22 lut 2015, o 19:30 przez lukaszml, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

lukaszml pisze:Też zauważyłem że mamy cosinusa ale wychodzą nam brzydkie liczby których nie podstawie jest to 0.667...
Czy mógłbyś wyjaśnić, co masz na myśli? Jakie brzydkie liczby?

JK
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: szachimat »

Przecież punkt przecięcia odpowiada liczbie \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4}}\)
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: AndrzejK »

lukaszml pisze:Racja tutaj błąd.
Też zauważyłem że mamy cosinusa ale wychodzą nam brzydkie liczby których nie podstawie jest to 0.667....
Nie rozumiem...
\(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)=0}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)=0}\)
Można podzielić przez ten pierwiastek i otrzymamy banalne równanie:
\(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) =0}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=x+\frac{\pi}{4}}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ \sin t = 0}\)

Sinus się zeruje dla argumentów \(\displaystyle{ k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\), zatem:
\(\displaystyle{ t=k\pi \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=k\pi \Leftrightarrow x=k\pi-\frac{\pi}{4}}\)

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \pi}\) może nie jest ładną liczbą, ale skąd 0.667?
lukaszml
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 wrz 2014, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O09H
Podziękował: 6 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: lukaszml »

AndrzejK pisze:
lukaszml pisze:Racja tutaj błąd.
Też zauważyłem że mamy cosinusa ale wychodzą nam brzydkie liczby których nie podstawie jest to 0.667....
Nie rozumiem...
\(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)=0}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)=0}\)
Można podzielić przez ten pierwiastek i otrzymamy banalne równanie:
\(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) =0}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=x+\frac{\pi}{4}}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ \sin t = 0}\)

Sinus się zeruje dla argumentów \(\displaystyle{ k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\), zatem:
\(\displaystyle{ t=k\pi \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=k\pi \Leftrightarrow x=k\pi-\frac{\pi}{4}}\)

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \pi}\) może nie jest ładną liczbą, ale skąd 0.667?
ach... kalkulator mnie zmylił bo \(\displaystyle{ \cos^{-1} \frac{ \pi }{4}}\)nie podał mi w ułamku zwykłym, co dziwne bo zawsze to robi ...

Lecz wynik mimo wszystko nie jest poprawny \(\displaystyle{ x=k\pi-\frac{\pi}{4}}\)

szachimat pisze:Przecież punkt przecięcia odpowiada liczbie \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4}}\)
lecz okres to \(\displaystyle{ 2k\pi}\), zaś docelowy to \(\displaystyle{ k\pi}\)
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: AndrzejK »

A jaki jest poprawny wynik w takim razie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

lukaszml pisze:ach... kalkulator mnie zmylił bo \(\displaystyle{ \cos^{-1} \frac{ \pi }{4}}\)nie podał mi w ułamku zwykłym, co dziwne bo zawsze to robi ...
Bo to zadanie nie miało nic wspólnego z \(\displaystyle{ \arccos\frac{ \pi }{4}}\). A używanie kalkulatora do wyznaczenia \(\displaystyle{ \cos\frac{ \pi }{4}}\) to wg mnie spora przesada.

JK
lukaszml
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 wrz 2014, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O09H
Podziękował: 6 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: lukaszml »

Poprawny wynik do całego zadania to, \(\displaystyle{ x = \frac{3 \pi }{4}+k \pi \vee x = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi, k \in C}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{2} + 2k \pi, k \in C}\)
Przy czym tą część otrzymałem.
Jan Kraszewski pisze:
lukaszml pisze:ach... kalkulator mnie zmylił bo \(\displaystyle{ \cos^{-1} \frac{ \pi }{4}}\)nie podał mi w ułamku zwykłym, co dziwne bo zawsze to robi ...
Bo to zadanie nie miało nic wspólnego z \(\displaystyle{ \arccos\frac{ \pi }{4}}\). A używanie kalkulatora do wyznaczenia \(\displaystyle{ \cos\frac{ \pi }{4}}\) to wg mnie spora przesada.

JK
Ma Pan racje.. za bardzo chciałem sobie ułatwić sprawę
Ostatnio zmieniony 22 lut 2015, o 19:43 przez lukaszml, łącznie zmieniany 1 raz.
AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: AndrzejK »

Mój drogi...

\(\displaystyle{ k\pi-\frac{\pi}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ x = \frac{3 \pi }{4}+k \pi}\) to jeden i ten sam wynik . Dodaj sobie do mojego wyniku \(\displaystyle{ \pi}\) (co można zrobić, bo okres tyle wynosi) i otrzymasz to samo. Równie dobrze wynikiem może być \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}+k\pi}\), czy \(\displaystyle{ \frac{-5\pi}{4}+k\pi}\), a nawet \(\displaystyle{ \frac{447\pi}{4}+k\pi}\).

Przed rozwiązywaniem takich równań przypomnij sobie podstawy...
lukaszml
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 wrz 2014, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O09H
Podziękował: 6 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: lukaszml »

AndrzejK pisze:Mój drogi...

\(\displaystyle{ k\pi-\frac{\pi}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ x = \frac{3 \pi }{4}+k \pi}\) to jeden i ten sam wynik . Dodaj sobie do mojego wyniku \(\displaystyle{ \pi}\) (co można zrobić, bo okres tyle wynosi) i otrzymasz to samo. Równie dobrze wynikiem może być \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}+k\pi}\), czy \(\displaystyle{ \frac{-5\pi}{4}+k\pi}\), a nawet \(\displaystyle{ \frac{447\pi}{4}+k\pi}\).

Przed rozwiązywaniem takich równań przypomnij sobie podstawy...
No to pojechałem teraz ładnie
Rozumiem swój błąd, dzięki Wszystkim za pomoc
ODPOWIEDZ