Pięć nierówności

[mol_ksiazkowy]

Czy jeśli \(\displaystyle{ 0< x < y}\) to
a) \(\displaystyle{ x - \sin (x) < y - \sin (y)}\)
b) \(\displaystyle{ x - \cos (x) < y - \cos (y)}\)
c) \(\displaystyle{ \tg (x)- x < \tg (y) - y}\)
d) \(\displaystyle{ y\tg (x) < x\tg (y)}\)
e) \(\displaystyle{ x\cos (x) < y\cos (y)}\)
?
(każdy przykład oddzielnie)

[kicaj]

a) \(\displaystyle{ \sin y -\sin x =2\sin \frac{y-x}{2} \cos \frac{y+x}{2} \leq 2\left|\sin \frac{y-x}{2} \cos \frac{y+x}{2}\right| \leq 2\left|\sin\frac{y-x}{2}\right|<2\frac{|y-x|}{2} =y-x}\)

[yorgin]

b) wynika łatwo z a) przez zwykłe przesunięcie argumentu.

c) i d) fałszywe - w obu przypadkach na skończonych przedziała funkcje strzelają w nieskończoność i powtarza się to na każdym przedziale okresowości tangensa. Można łatwo poszukać przykładu.

e) oczywiście, że nie. Dla \(\displaystyle{ x=1}\) jest dodatnia wartość, dla \(\displaystyle{ y=2}\) ujemna.