Wzór redukcyjny

Milczek · Post autor: **Milczek** » 17 lut 2015, o 16:21

Moi drodzy , problem wygląda tak :
Mamy dwa kąty, \(\displaystyle{ \alpha \wedge \frac{ \pi }{2} -\alpha}\).Znaleźć pomiędzy nimi związek a dokładniej to pomiędzy funkcjami sinsus i cosinus tych kątów. O ile z pozostałymi wszystkimi wzorami redukcyjnymi nie ma problemu to nie potrafię nic wymyślić z \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} -\alpha}\). Może ktoś wie jak albo jakieś porady ?

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 lut 2015, o 16:31

Co tu wymyślać? Sinus przechodzi na cosinus, cosinus ns sinus, tangens na cotangens, a cotangens na tangens i wszystkie wyniki są dodatnie.

Milczek · Post autor: **Milczek** » 17 lut 2015, o 17:31

no wiem proste, ale jakoś tego nie widzę , jeszcze postaram się nad tym pomyśleć.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 17 lut 2015, o 17:35

Milczek pisze:Moi drodzy , problem wygląda tak :
Mamy dwa kąty, \(\displaystyle{ \alpha \wedge \frac{ \pi }{2} -\alpha}\).Znaleźć pomiędzy nimi związek a dokładniej to pomiędzy funkcjami sinsus i cosinus tych kątów. O ile z pozostałymi wszystkimi wzorami redukcyjnymi nie ma problemu to nie potrafię nic wymyślić z \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} -\alpha}\). Może ktoś wie jak albo jakieś porady ?

Milczek pisze:no wiem proste, ale jakoś tego nie widzę , jeszcze postaram się nad tym pomyśleć.

W takim razie jak widzisz pozostałe?

Milczek · Post autor: **Milczek** » 17 lut 2015, o 18:09

Więc zacznijmy od koła narysowanego w układzie współrzędnych i zbadajmy zależność w funkcjach trygonometrycznych z kątami \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \alpha+ \frac{\pi}{2}}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie dowolnym kątem skierowanym u którego ramię początkowe pokrywa się z osią OX a ramię końcowe wyznacza nam nasz kąt, punkt przecięcia okręgu i ramienia oznaczmy jako \(\displaystyle{ P}\). Niech punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) będą rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ P}\) odpowiednio na osie OX i OY. Otrzymamy trójkąt \(\displaystyle{ POM}\) z kątem ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Teraz otrzymany trójkąt obracamy wokół środka układu współrzędnych o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) w lewo. Oba trójkąty są przystające i wtedy widzimy po krótkim namyśle, jakie współrzędne mają potrzebne nam punkty do znalezienia związków pomiędzy tymi kątami w funkcjach trygonometrycznych.
Ale nie umiem zobrazować tego w momencie gdy mam kąt \(\displaystyle{ -\alpha}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).Te \(\displaystyle{ -\alpha}\) psuje mi koncepcje która się rozmywa i nie potrafię jej przedstawić.Chciałem odjąć od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Ale wtedy mam w układzie współrzędnych trójkąt równoramienny i kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\alpha}\) i muszę skorzystać z tw.cosinusów. Więc już teraz widzimy że błądzę po omacku i do niczego nie dojdę.-- 17 lut 2015, o 19:36 --Prawie mam z : \(\displaystyle{ sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos \alpha}\).Za \(\displaystyle{ \aplha}\) wstawiamy \(\displaystyle{ -\alpha}\) i mamy że \(\displaystyle{ sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos(-\alpha)=cos \alpha}\).
To polećmy ze cosinusem : \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-sin\alpha=sin(-\alpha)}\). Wstawiamy za \(\displaystyle{ \alpha}\) kąt \(\displaystyle{ -\alpha}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin\alpha}\). W pierwszym wyprowadzeniu wykorzystuje na końcu to że cosinus jest parzystą funkcją a w drugim to że sinus jest funkcją nieparzystą. Proszę zweryfikować czy może żadnych błędów logicznych nie ma!! Dziękuje za pomoc szachuimacie Ale to niestety nie zmienia faktu że nie umiem jeszcze tego wyprowadzić geometrycznie z układu współrzędnych.