równania i nierówności trygonometryczne

[adinho58]

Witam.
Mam problem z nast przykładem : \(\displaystyle{ \sin 2x + \sin 3x = 0}\)
stosuję wzór na sumę cosinusów i otrzymuję :
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{5}{2}x \cos \frac{1}{2} x =0 \Leftrightarrow \sin \frac{5}{2}x =0 \vee \cos \frac{1}{2} x}\)
mam wzór na dwie serie rozwiązań sinusa i cosinusa. I we wzór zamiast x podstawiać np. te \(\displaystyle{ \frac{5}{2}x}\) ? Czy jakoś inaczej to się rozwiązuje ? Bo niestety w ten sposób coś źle wychodzi...

dam przykład : \(\displaystyle{ \sin \frac{5}{2}x = 0}\)
\(\displaystyle{ 0= \sin 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{2}x = \sin 0}\)
\(\displaystyle{ }x = \frac{2}{5} k \pi}\) - to jest dobrze, bo pisząc tutaj znalazłem błąd w obliczeniach
Tylko dlaczego odrzucamy drugie rozwiązanie \(\displaystyle{ \frac{5}{2}x = \sin}\) ? A mianowicie \(\displaystyle{ x= \frac{2}{5} \pi + \frac{4}{5} k \pi}\) ?

Przy cosinusie jest podobnie czemu odrzucamy drugie rozwiązanie ?

[gardner]

Rozpisze jak ja to rozumiem:

\(\displaystyle{ \sin \frac{5}{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{2}x=k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2}{5}k \pi}\)

Więc żadnych innych rozwiązań tu nie ma po prostu. Narysuj sobie wykres i sprawdź gdzie sinus przyjmuje wartość 0.

[Dilectus]

Tylko dlaczego odrzucamy drugie rozwiązanie \(\displaystyle{ \frac{5}{2}x = \sin}\) ?

Coś mi się wydaje, adinho58, że w ogóle nie jarzysz funkcji trygonometrycznych...

[adinho58]

Wszystko jest możliwe Dilectus, ale chce ją zrozumieć, dlatego pytam. Powinno być : \(\displaystyle{ \sin \frac{5}{2} x = \sin 0}\)

gardner, w książce mam jeszcze wzór : \(\displaystyle{ x =( \pi -t _{0} )+2k \pi}\)
czyli rozwiązaniami powinno być \(\displaystyle{ x= \frac{5}{2} x}\) oraz \(\displaystyle{ x= \frac{2}{5} \pi + \frac{4}{5} k \pi}\)

[szachimat]

\(\displaystyle{ x_{1} = t_{0} +2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x_{2} =( \pi -t _{0} )+2k \pi}\) - to jest uniwersalne dla wszystkich kątów, również dla \(\displaystyle{ t_{0}=0}\), bo
\(\displaystyle{ x _{1} \in \left\{ 0,2 \pi ,4 \pi ,6 \pi ...\right\}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} \in \left\{ \pi ,3 \pi ,5 \pi,7 \pi ...\right\}}\)
Zauważ teraz, że te dwa zbiory można połączyć w zapisie jako \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0, \pi ,2 \pi ,3 \pi ,4 \pi ,5 \pi ...\right\}}\), czyli krótko: \(\displaystyle{ x=k \pi}\)

Podsumowując mamy taki układ, że w przypadku zera można podać odpowiedź zapisując dwa rozwiązania według książki, albo tylko jedno skomasowane w zapisie (i jeden i drugi sposób jest poprawny). Stąd właśnie inni się dziwią, dlaczego chcesz pisać dwa rozwiązania, skoro możesz napisać jedno.

Czyli jeszcze raz jak należy tutaj rozwiązać:
\(\displaystyle{ \frac{5}{2} x_{1} = 0 +2k \pi \Rightarrow x _{1}= \frac{4}{5}k \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{2} x_{2} =( \pi -0 )+2k \pi \Rightarrow x _{2}= \frac{2}{5} \pi + \frac{4}{5}k \pi}\)

Lub krótko: \(\displaystyle{ \frac{5}{2}x=k \pi \Rightarrow x= \frac{2}{5}k \pi}\)


O rozwiązaniach cosinusa: też można czasem napisać dwa rozwiązania lub skomasować je w zapisie do jednego.

[adinho58]

szachimat, Ale tylko w przypadku, gdy \(\displaystyle{ t _{0} = 0}\) tak ?

a jak zrobić takie zadanie :
\(\displaystyle{ \cos 2x - \cos 6x = \sin 3x + \sin 5x}\)
wzory sumy i roóżnicy :
\(\displaystyle{ L =-2 \sin 4x \sin (-2x ) = 2 \sin 4x \sin 2x}\) ?
\(\displaystyle{ P = 2 \sin 4x \cos x}\) Skracam \(\displaystyle{ 2 \sin 4x}\)
Zostaje mi :
\(\displaystyle{ \sin 2x = \cos x}\) \(\displaystyle{ \cos x = \sin ( \frac{ \pi }{2} - x )}\)
\(\displaystyle{ 2x _{1} = \frac{ \pi }{2} - x +2k \pi \Rightarrow x = \frac{ \pi }{6} + \frac{2}{3} k \pi}\)
\(\displaystyle{ 2x _{2} = \pi - \frac{ \pi }{2} + x +2k \pi \Rightarrow x _{2} = \frac{ \pi }{2} +2k \pi}\) ?

odpowiedz są :
\(\displaystyle{ x = \frac{k \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\)

Gdzie jest błąd ?

[szachimat]

Tu jest masa błędów (np. nie możesz skracać przez \(\displaystyle{ 2\sin 4x}\), bo w szczególnym przypadku dzielisz przez \(\displaystyle{ 0}\) i w związku z tym gubisz część rozwiązań - należy to przenieść na lewo; \(\displaystyle{ \sin 2x=}\)? - źle)

-- 16 lut 2015, o 23:56 --

Łączenie kilku zbiorów rozwiązań można robić często, ale najczęściej się to udaje przy zerze. (dziś już nie pomogę bo późno)

[adinho58]

Czyli przenosze na lewą strone i wyciągam część wspólną przed nawias :
\(\displaystyle{ 2 \sin 4x ( \cos x - \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \vee \cos x - \sin 2x =0}\)
\(\displaystyle{ \cos x - \sin 2x \Rightarrow 2 \sin ( \frac{ \pi -3x }{2} )\cos (\frac{x + \frac{ \pi }{2}}{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x= \frac{k \pi }{4}}\) i ten wynik się zgadza.
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{ \pi - 3x }{2} )=0 \vee \cos ( \frac{x + \frac{ \pi }{2}}{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{ \pi - 3x }{2} )=0 \Leftrightarrow x = \frac{2k \pi }{3} - \frac{ \pi }{3}}\) ten wynik już się nie zgadza..

[szachimat]

Czyli przenosze na lewą strone i wyciągam część wspólną przed nawias :
\(\displaystyle{ 2 \sin 4x ( \cos x - \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \vee \cos x - \sin 2x =0}\)
\(\displaystyle{ \cos x - \sin 2x \Rightarrow 2 \sin ( \frac{ \pi -3x }{2} )\cos (\frac{x + \frac{ \pi }{2}}{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x= \frac{k \pi }{4}}\) i ten wynik się zgadza.
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{ \pi - 3x }{2} )=0 \vee \cos ( \frac{x + \frac{ \pi }{2}}{2} )}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{ \pi - 3x }{2} )=0 \Leftrightarrow x = \frac{2k \pi }{3} - \frac{ \pi }{3}}\) ten wynik już się nie zgadza..

Proponuję w pierwszym nawiasie zapisać \(\displaystyle{ sin 2x= 2sinxcosx}\) i jeszcze \(\displaystyle{ cosx}\) wyciągnąć przed nawias. Na koniec wypisz w odpowiedzi wszystkie zbiory rozwiązań lub spróbuj je jakoś skomasować w zapisie.

[adinho58]

Wybacz, ale jesteś wstanie mi to pokazać ?
Bo wychodzą odpowiedzi typu :
\(\displaystyle{ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{ \pi }{2} +2k \pi}\)
Ale gdybym podał te wszystkie odpowiedzi, bez skrócenia tego do jednego zapisu to nadal by była dobra odpowiedź ?

[szachimat]

Wybacz, ale jesteś wstanie mi to pokazać ?
Bo wychodzą odpowiedzi typu :
\(\displaystyle{ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{ \pi }{2} +2k \pi}\)
Ale gdybym podał te wszystkie odpowiedzi, bez skrócenia tego do jednego zapisu to nadal by była dobra odpowiedź ?

Moja odpowiedź to TAK (tylko dwójkę skreśl, bo cosinus się zeruje co pół okresu) (muszę kończyć bo wychodzę, może ktoś jeszcze pomoże)