Równanie z parametrem

zatt1337 · Post autor: **zatt1337** » 15 lut 2015, o 20:03

Dla jakich wartości a równanie
\(\displaystyle{ 3\cos \left( x\right)\cos \left( a-x\right)=2 \sin ^{2}\left( x\right)}\)
Ma rozwiązanie?
Rozwiazanie podane jest w postaci \(\displaystyle{ \cos \left( a\right) \in \left\langle \frac{1}{3} ,1\right\rangle}\).

Post autor: **Zahion** » 15 lut 2015, o 20:16

\(\displaystyle{ 2\sin^{2} x = 2 - 2\cos^{2} x}\)
Otrzymasz równanie kwadratowe. Warunek do delty.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 15 lut 2015, o 20:19

Możesz skorzystać ze wzoru na iloczyn cosinusów z lewej strony, a z prawej wykorzystac jedynkę trygonometryczną. Następnie podstawić za \(\displaystyle{ \cos x}\) zmienną \(\displaystyle{ t}\). Otrzymasz równanie kwadratowe, ktore rozwiązujesz tradycyjną metodą.

zatt1337 · Post autor: **zatt1337** » 15 lut 2015, o 20:31

No dobra, wszystko fajnie tylko jak idę metodą Zahiona to nie mam co zrobić z \(\displaystyle{ cos\left( a-x\right)}\), a do wzoru na iloczyn nie mam jak dopasować kątów. Skorzystanie z cosinusa roznicy tez mi nic nie daje zbytnio, bo wtedy zamiast tego mam jeszcze iloczyn \(\displaystyle{ sinxsina}\)i tez podstawienie nie działa. Próbowałem obydwu opcji i żadna nie skutkowała, możliwe, że czegoś nie widzę.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 15 lut 2015, o 20:45

\(\displaystyle{ \cos x \cos \left( a-x \right) =\frac{\cos \left( x- \left( a-x \right) \right) + \cos \left( x+a-x \right) }{2}}\)

Post autor: **Zahion** » 15 lut 2015, o 20:58

Możesz pokazać obliczenia i miejsce w którym masz problem ?

zatt1337 · Post autor: **zatt1337** » 15 lut 2015, o 21:23

No okej poszukujaca, tak robilem i mam teraz \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \left( \cos \left( 2x-a\right)+\cos \left( a\right) \right) =2 \sin ^{2}x}\). Sinusa zamienię sobie na cosinusa, ale co zrobić z tym \(\displaystyle{ \cos \left( 2x-a \right)}\)?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 15 lut 2015, o 22:03

zatt1337, spróbowałam dalej zastosować wzór na cosinus różnicy kątów oraz jeszcze kilka innych wzorów trygonometrycznych. Jednak otrzymuję dosyć skomplikowane równanie. Być może moja podpowiedź okazała się zupełnie nietrafna i trzeba spróbować inaczej.

zatt1337 · Post autor: **zatt1337** » 15 lut 2015, o 22:20

Sam nie jestem pewny tego równania, wydaje się troszeczke zbyt przykre, w szczegolnosci dla maturzysty.

Post autor: **Zahion** » 15 lut 2015, o 22:30

\(\displaystyle{ 3\cos\left( x\right)\cos\left( a-x\right)=2 \sin^{2}\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ \cos(a-x) = \frac{2sin^{2} x}{3\cos x}}\)
\(\displaystyle{ \cos a \cos x + \sin a \sin x = \frac{2\sin^{2} x}{3\cos x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos a \cos x}{\sin x}+ \sin a = \frac{2\sin x}{3\cos x}}\)
\(\displaystyle{ \cos a \ctg x + \sin a = \frac{2\tg x}{3}}\)
\(\displaystyle{ \ctg^{2} x \cos a + \ctg x \sin a - \frac{2}{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ t = \ctg x}\)
Może coś z tego wyjdzie ? Wygląda na przystępne. Oczywiście pominąłem dziedzinę.
Z tego co widzę, to \(\displaystyle{ 1 \ge \cos a \ge -\frac{1}{3}}\), jeśli się nie pomyliłem.

zatt1337 · Post autor: **zatt1337** » 15 lut 2015, o 22:56

Szacunek, tyle w tym temacie.