Wyprowadzenie wzoru

[adinho58]

Witam.
"Suma i różnica sinusów oraz cosinusów " mam zadanie
Przedstaw w postaci iloczynu sumę \(\displaystyle{ 1+ \cos \alpha}\) ( to zadanie jest jako przykład, więc jest rozwiązane w mojej książce )
wiadomo, że \(\displaystyle{ 1 = \cos 0}\)
no to podstawiam do wzoru na sumę cosinusów :
\(\displaystyle{ 2 \cos \frac{ \alpha +0}{2} \cos \frac{0 - \alpha }{2}}\) potem otrzymuje coś nie wiem skąd i dlaczego od razu to zostaje przekształcone na : \(\displaystyle{ 2 \cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}}\)

Skąd to się wzięło ? Znam ten sposób na cosinus podwójnego kąta, jednak mi chodzi jak to otrzymać ze wzoru na sumę cosinusów ?


Zad. 2

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha , \beta ,\gamma}\) są katami trójkata, to \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \beta }{2} \ cos \frac{\gamma}{2}.}\)

wiem, że : \(\displaystyle{ \sin \gamma = \sin ( \alpha + \beta )}\)
Otrzymuje więc cos takiego :
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \ cos \alpha \rightarrow \sin \alpha ( 1 + \cos \beta ) + \sin \beta ( 1 + \cos \beta ) \Rightarrow 2 \sin \alpha \cos ^{2} \frac{ \beta }{2} + 2 \sin \beta \cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}}\)

Co dalej ?

[Zahion]

Otóż funkcja cosinus jest parzysta stąd \(\displaystyle{ \cos x = \cos \left( -x\right)}\)
więc \(\displaystyle{ 2 \cos \frac{ \alpha +0}{2} \cos \frac{0 - \alpha }{2}= 2 \cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \frac{- \alpha }{2} = 2 \cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \frac{ \alpha }{2} = 2 \cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}}\)

[a4karo]

Ja bym spróbował tak
\(\displaystyle{ \sin a+\sin b+\sin c=\frac{\sin a+\sin b}{2}+\frac{\sin b+\sin c}{2}+\frac{\sin c+\sin a}{2}=\dots}\)

Moze cos wyjdzie

[adinho58]

Ja bym spróbował tak
\(\displaystyle{ \sin a+\sin b+\sin c=\frac{\sin a+\sin b}{2}+\frac{\sin b+\sin c}{2}+\frac{\sin c+\sin a}{2}=\dots}\)

Moze cos wyjdzie

Niestety nie wiem co dalej

[Zahion]

\(\displaystyle{ \partial =180- \left( \alpha + \beta\right) =2 \cdot \left( 90- \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)}\). Dalej otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta +\sin \partial =2\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ \alpha - \beta }{2}\right) +2\sin \left( 90- \left( \frac{ \alpha + \beta }{2}\right) \right) \cdot \cos \left( 90-\left( \frac{ \alpha + \beta }{2}\right) \right) =
2\sin \left( \frac{\left \alpha + \beta\right}{2}\right) \cdot \cos \left( \frac{ \alpha - \beta }{2}\right) +2\cos \left( \frac{ \alpha + \beta }{2}\right) \cdot \sin \left( \frac{ \alpha + \beta }{2}\right) =
2\sin \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \cdot \left( \cos \left( \frac{ \alpha - \beta }{2} \right) +\cos \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right)\right) =
4\sin \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{ \beta }{2} \right)=4 \cos \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \beta }{2} \ \cos \frac{\gamma}{2}.}\)

[adinho58]

Nie rozumiem tylko skad się wzieło \(\displaystyle{ 2 \sin 90 - \left( \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \right) \cdot \left( \cos 90 - \left( \frac{ \alpha + \beta }{2}\right) \right)}\) bo najpierw dodałeś \(\displaystyle{ \sin \alpha + \ \sin \beta}\) ale skad się wzięło to \(\displaystyle{ 2 \sin}\)...

[Zahion]

Zauważ, że zachodzi równość \(\displaystyle{ \sin 2a = 2\sin a \cdot \cos a}\). Jako, że \(\displaystyle{ \partial =180- \left( \alpha + \beta\right) =2 \cdot \left( 90- \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)}\), niech \(\displaystyle{ a = \left( 90- \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)}\), wtedy \(\displaystyle{ \sin \partial = \sin 2a = 2 \sin 90 - \left( \left( \frac{ \alpha + \beta }{2} \right) \right) \cdot \left( \cos 90 - \left( \frac{ \alpha + \beta }{2}\right) \right)}\)

[adinho58]

a \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha + \beta }{2}}\) czemu jest równa \(\displaystyle{ \cos \frac{\gamma}{2}}\) ?

[Zahion]

\(\displaystyle{ \sin \left( 90-a\right)=\cos a}\), stąd i z warunku \(\displaystyle{ \frac{ \alpha + \beta }{2}=90- \frac{ \partial }{2}}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha + \beta }{2} = \sin \left( 90- \frac{ \partial }{2} \right) = \cos \left( \frac{ \partial }{2} \right)}\)

[adinho58]

Wykaż, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y}\) z przedziału \(\displaystyle{ (0;90)}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sin (x+y) < \sin x + \sin y}\)
Jedynie co moge zrobić to rozwinąc to do postaci :
\(\displaystyle{ \sin x \cos y + \cos x \sin y < \sin x + \sin y}\)
Przenoszę na jedną stronę i wyciagam przed nawias :
\(\displaystyle{ \sin x ( \cos y -1 ) + \sin y ( \cos x -1 ) <0}\) Ale co dalej mogę zrobić ?

[a4karo]

A juz nie wystarczy? przyjrzyj się znakom składników lewej strony...

[adinho58]

A jak zapisać w formie iloczynu takie coś :
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x - \sin ^{2} y}\) ?
Jest to wzór skróconego mnożenia, jednak po rozbiciu i i użyciu wzorów na sumę i różnice sinusów nic konkretnego nie wychodzi...
Jest jakiś inny sposób ?

[Zahion]

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)}\), więc Twoje wyrażenie to po prostu
\(\displaystyle{ (\sin x + \sin y)(\sin x - \sin y)}\)

[adinho58]

w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \sin (x+y) \cdot \sin (x-y)}\)

[Zahion]

Książka nie kłamie, aczkolwiek wzór, który podałem, również jest poprawny.