Obliczanie arcusów

[duke11]

Wiem, że może to trywialne, ale chciałbym, aby ktoś krok po kroku wytłumaczył mi obliczanie np. takich wyrażeń:

\(\displaystyle{ \arcsin (\sin x)=y\\
\\
\sin (\arcsin x)=y\\
\\
y=\sin (\arccos x)}\)

Dziękuję i pozdrawiam.

[SlotaWoj]

Funkcje \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \arcsin}\) są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. To oznacza, że gdy \(\displaystyle{ y=\sin x}\) to \(\displaystyle{ x=\arcsin y}\) . Złożenie funkcji wzajemnie odwrotnych jest identycznością, tzn. \(\displaystyle{ f^{-1}\left(f(x)\right)=x}\) i \(\displaystyle{ f\left(f^{-1}(y)\right)=y}\) (gdzie \(\displaystyle{ f^{-1}}\) oznacza funkcję odwrotna, a nie odwrotność w sensie arytmetycznym). Ten przypadek zachodzi wprost w Twoich przekładach 1. i 2.

1. Zakładamy, że \(\displaystyle{ x\in[-\pi/2;\pi/2]}\) i przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \sin x = y}\) . Wtedy \(\displaystyle{ \arcsin\left(\sin x\right)=\arcsin y=x}\) (na podstawie definicji funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ \sin}\) ).
2. Zakładamy jw. i przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \arcsin x=y}\) , a dalej podobnie do przykładu 1.
3. Zakładamy, że \(\displaystyle{ x\in[0;\pi]}\) i przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \arccos x=z}\) (wzór 1), podstawiamy do wyrażenia pierwotnego i mamy \(\displaystyle{ y=\sin z}\) (wzór 2)
   Ze wzoru 1 wynika też, że \(\displaystyle{ \cos z=x}\) (wzór 3)
   Jedynkę trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^2z+\cos^2z=1}\) możemy przekształcić do postaci \(\displaystyle{ \sin z=\pm\sqrt{1-\cos^2z}}\) (wzór 4) (patrz uwaga 1 na końcu) i podstawić do wzoru 2.
   Będziemy mieli \(\displaystyle{ y=\pm\sqrt{1-\cos^2z}}\) (wzór 5), a po podstawieniu wzoru 3 \(\displaystyle{ y=\pm\sqrt{1-x^2}}\) (wzór 6)

Uwagi:

1. Gdy \(\displaystyle{ \cos x>0}\) , to jesteśmy I lub IV ćwiartce układu współrzędnych. Musimy wybrać w której i dostosować do wyboru znak przed pierwiastkami we wzorach 4, 5 i 6. Przypominam, że w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzecie tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.
2. Ze względu na okresowość, a w przypadku funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) również ze względu różnowartościowość tylko w części dziedzin funkcji trygonometrycznych zostały zdefiniowane funkcje do nich odwrotne; dla funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \tg}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-\pi/2;\pi/2]}\) (IV i I ćw.), dla \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \ctg}\) w \(\displaystyle{ [0;\pi]}\) (I i II ćw.) i w przekształceniach ww. typu należy to uwzględnić. Dotyczy to szczególnie przekształceń, w których występują różne funkcje trygonometryczne lub do nich odwrotne. W przypadkach, gdy zmienne będące argumentami funkcji trygonometrycznych wykraczają po za podane tu przedziały należy wykorzystać okresowość lub inne własności tych funkcji.

Edit: MariuszM zwrócił uwagę na pewne braki w pierwotnej redakcji wyjaśnień, które uwzględniłem.

[Mariusz M]

Tak ale funkcje trygonometryczne są okresowe więc funkcje do nich odwrotne są zdefiniowane tylko na pewnym przedziale a zatem w pierwszym przykładzie nie będzie tak jak napisałeś

\(\displaystyle{ \arcsin{\left( \sin{x}\right) }\neq x\\}\)

Aby otrzymać równość musimy dodać warunek że \(\displaystyle{ x\in \left<-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right>}\)