Równanie z nieszczęsnym arctg

michalczo · Post autor: **michalczo** » 5 lut 2015, o 00:07

Mam problem z rozwiązaniem "elementarnego" równania.

\(\displaystyle{ (\arctan x) + x = \pi}\)

Ma ktoś może jakiś na to sposób?

Pozdrawiam!

P.S. Metoda graficzna odpada.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 5 lut 2015, o 00:19

To nie jest elementarne równanie.
Narysuj dwa wykresy:
\(\displaystyle{ y= \arctg x}\)
oraz
\(\displaystyle{ y= \pi -x}\)
Przecinają się tylko raz dla x nieco wiekszego niż 2. Tu pozostaje tylko szukanie przybliżonej wartości metodami numerycznymi.
\(\displaystyle{ x \approx 2,0287578}\)

michalczo · Post autor: **michalczo** » 5 lut 2015, o 00:22

No właśnie chciałbym w jakiś sposób uniknąć rysowania wykresów.

Takie dziwaczne równania do rozwiązania wychodzą mi podczas liczenia zapasów wzmocnienia w zadaniach z automatyki. Na egzaminie każda minuta się liczy, więc jeśli by się dało to rozwiązać bez rysowania...

kerajs · Post autor: **kerajs** » 5 lut 2015, o 00:33

Wykres przynajmniej pokazuje gdzie szukać rozwiazania przyblizonego. Nie znam łatwego i szybkiego sposobu wyliczania pierwiastków takich równań. To rozwiązanie przybliżone podałem z kalkulatora gdzie wpisywałem wartości coraz bliższe faktycznemu rozwiązaniu (bisekcja).

Ps.Na egzaminie powinny wychodzić ładne liczby gdyż raczej nie sprawdza się tam biegłości rachunkowej.

michalczo · Post autor: **michalczo** » 5 lut 2015, o 01:14

Dzięki bardzo za pomoc!

W skrypcie do automatyki polecają na kalkulatorze podstawiać randomowe wartości tak długo, aż \(\displaystyle{ L \approx P}\). Więc chyba nie ma wyjścia, trzeba malować wykresik i szukać w okolicach przecięcia.

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 5 lut 2015, o 02:30

Nie trzeba się męczyć z podawaniem randomowych wartości. Można rozwiązać iteracyjnie, czyli:

\(\displaystyle{ x = \pi - \arctg(x)}\)

Podstawiasz do prawej strony przybliżone rozwiązanie, może być nawet \(\displaystyle{ x=0}\) i coś tam wychodzi. Teraz jest to Twój nowy \(\displaystyle{ x}\) który znowu podstawisz do prawej strony itd.

Czyli na kalkulatorze naciskasz:
1) \(\displaystyle{ 0=}\) (żeby w \(\displaystyle{ Ans}\) znalazło się zero)
2) wklepujesz wzorek \(\displaystyle{ \pi - \arctg(Ans)}\)
3) Ciśniesz \(\displaystyle{ =====}\) aż przestanie się zmieniać wynik

Pierwszy krok w sumie można sobie darować bo tu jest tylko jedno rozwiązanie więc wynik i tak zbiegnie się zawsze do tej samej wartości. Ogólnie z tą metodą trzeba uważać bo nie każdy typ równania będzie miał zbieżne wyniki, ale równanie w takiej postaci: \(\displaystyle{ ax = \pi - \arctg(x)}\) to bez problemu rozwiążesz (jeśli tylko \(\displaystyle{ a \neq 0}\) rzecz jasna).

Ogólnie to jakiej postaci są równania które chcesz rozwalać? Bo to co podałeś to wystarczyłoby zapamiętać tę jedną liczbę (rozwiązanie).

michalczo · Post autor: **michalczo** » 5 lut 2015, o 15:17

Sposób kolegi jarek4700 też bardzo pomysłowy i działa. Dzięki wielkie!

Osobiście problem rozwiązałem tak, że korzystam w kalkulatorze z funkcji TABLE. Tam wpisuję równanie. Daję jakiś przedział, np. od 1 do 10 co 1. I patrzę gdzie jest najbliżej 3.14. Później zawężam przedział i zwiększam dokładność, aż w końcu dojdę do przybliżonej wartości.

Ogólnie postaci równań jest wiele i zależą one od złożoności przykładu. Czasami wyjdzie coś prostego, np. \(\displaystyle{ \arctg x = \pi / 3}\) a czasami nie. Jednakże niemalże we wszystkich króluje arctg, ponieważ liczę argument z transmitancji zespolonej.