1. Niech x będzie taką liczbę, że \(\displaystyle{ sin\alpha-cos\alpha=\frac{1}{3}}\) . Oblicz wartość liczbową \(\displaystyle{ sin^{3}\alpha-cos^{3}\alpha}\)
•Korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń i "jedynki trygonometrycznej" otrzymujemy \(\displaystyle{ sin^{3}\alpha-cos^{3}\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)(sin^{2}\alpha+sin\alpha cos\alpha+cos^{3}\alpha)=\frac{1}{3} (1+sin\alpha cos\alpha)}\)
•Pozostało nam do obliczenia wartość iliczynu \(\displaystyle{ sin\alpha cos\alpha}\) . Ponieważ \(\displaystyle{ sin\alpha-cos\alpha=\frac{1}{3}}\), więc \(\displaystyle{ (sin\alpha-cos\alpha)^{2}=(\frac{1}{3})^2}\) . Stąd otrzymujemy równość \(\displaystyle{ 1-2sin\alpha cos\alpha=\frac{1}{9}}\) , a następnie \(\displaystyle{ sin\alpha cos\alpha=\frac{4}{9}}\) .
•Zatem \(\displaystyle{ sin^{3}\alpha-cos^{3}\alpha=\frac{1}{3} (1+\frac{4}{9})=\frac{13}{27}}\)
Postępując w analogiczny sposób, oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha}\)wiedząc, że \(\displaystyle{ sin\alpha+cos\alpha=\frac{3}{5}}\) .
No To jest cała treść zadania. Niby jest napisane jak to zrobić, ale nic z tego nie rozumiem. Będę niezwykle wdzięczna za pomoc.
Pozdrowienia
Jeszcze jedno zadanko z obliczania wartości
-
doti_w
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 24 paź 2006, o 20:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 8 razy
Jeszcze jedno zadanko z obliczania wartości
Hej
No faktycznie wszystko tu napisane, choć z małymi błędami i skrótami. Wykorzystam opis, który podałaś uzupełniając o małe komentarze:
1. Korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń
\(\displaystyle{ \sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha)}\)
2. W drugim nawiasie mamy wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}\) czyli z "jedynki trygonometrycznej" to jest 1. Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha)=(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha)}\)
3. Ponadto z zadania wiadomo, że \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{3}{5}}\), więc możemy to podstawić za pierwszy nawias w powyższym równaniu:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha)=\frac{3}{5}(1-\sin\alpha\cos\alpha)}\)
4. Pozostało nam do obliczenia wartość iloczynu \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha}\). Na początek bierzemy równość podaną w zadaniu i podnosimy obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=(\frac{3}{5})^{2}}\). Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}}\)
5. Jak widać w wyrażeniu po lewej stronie znowu mamy "jedynkę trygonometryczną". Zatem wyrażenie możemy zapisać następująco:
\(\displaystyle{ 1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{9}{25}}\)
6. Obliczamy stąd poszukiwany iloczyn czyli przenosimy 1 na prawą stronę i dzielimy obustronnie przez 2. W ten sposób uzyskujemy wynik:
\(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{8}{25}}\)
7. Powracamy do naszego wyrażenia i podstawiamy za iloczyn uzyskany wynik:
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}(1-\sin\alpha\cos\alpha)=\frac{3}{5}(1-\frac{8}{25})=\frac{3}{5}\cdot\frac{17}{25}=\frac{51}{125}}\)
No faktycznie wszystko tu napisane, choć z małymi błędami i skrótami. Wykorzystam opis, który podałaś uzupełniając o małe komentarze:
1. Korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń
\(\displaystyle{ \sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha)}\)
2. W drugim nawiasie mamy wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}\) czyli z "jedynki trygonometrycznej" to jest 1. Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha)=(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha)}\)
3. Ponadto z zadania wiadomo, że \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{3}{5}}\), więc możemy to podstawić za pierwszy nawias w powyższym równaniu:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha)=\frac{3}{5}(1-\sin\alpha\cos\alpha)}\)
4. Pozostało nam do obliczenia wartość iloczynu \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha}\). Na początek bierzemy równość podaną w zadaniu i podnosimy obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=(\frac{3}{5})^{2}}\). Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}}\)
5. Jak widać w wyrażeniu po lewej stronie znowu mamy "jedynkę trygonometryczną". Zatem wyrażenie możemy zapisać następująco:
\(\displaystyle{ 1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{9}{25}}\)
6. Obliczamy stąd poszukiwany iloczyn czyli przenosimy 1 na prawą stronę i dzielimy obustronnie przez 2. W ten sposób uzyskujemy wynik:
\(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{8}{25}}\)
7. Powracamy do naszego wyrażenia i podstawiamy za iloczyn uzyskany wynik:
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}(1-\sin\alpha\cos\alpha)=\frac{3}{5}(1-\frac{8}{25})=\frac{3}{5}\cdot\frac{17}{25}=\frac{51}{125}}\)